Задание 16. Вариант 1 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 1 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

Задание 16. Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.

Решение.

а) Пусть CL — общая касательная двух окружностей, причём точки L и В лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой

Значит, прямые AD и BE параллельны, поскольку соответственные углы CAD и СЕВ при пересечении этих прямых прямой АЕ равны.

б) Поскольку угол АСВ прямой, AD и BE — диаметры меньшей и большей окружностей соответственно. Прямоугольные треугольники ACD и ЕСВ подобны по острому углу ( ) с коэффициентом подобия  .

Пусть АС = ВС = x, тогда

В прямоугольном треугольнике ACD:

откуда.

Ответ: 4,8