Задание 16. Вариант 1 ЕГЭ 2022 из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 1 ЕГЭ 2022 из 36 вариантов

Точки А, В, С, D и Е лежат на окружности в указанном порядке, причём АЕ = ED = CD, а прямые АС и BE перпендикулярны. Отрезки АС и BD пересекаются в точке Т.

а) Докажите, что прямая ЕС пересекает отрезок TD в его середине.

б) Найдите площадь треугольника АВТ, если BD = 6, АЕ = √6.

Решение.

а) Обозначим точку пересечения прямой ЕС и отрезка TD через М, а точку пересечения отрезков АС и BE через Н. Угол ВМС равен полусумме дуг ВС и DE, а угол ВНС равен полусумме дуг ВС и АЕ. Дуги АЕ, ED и CD меньше 180° и стягиваются равными хордами. Следовательно, эти дуги равны. Значит,

и

В треугольнике TCD отрезок СМ является биссектрисой и высотой, поэтому этот, треугольник равнобедренный, ТС = CD, а точка М — середина отрезка TD.

б) Дуги АЕ и CD равны, значит,  , следовательно, прямые АС и DE параллельны, a угол BED = 90°.

Обозначим угол DBE через α. Тогда:

;  ,

В треугольнике АВТ отрезок ВН является биссектрисой и высотой, поэтому этот треугольник равнобедренный, АВ = ВТ, а точка Н — середина отрезка AT. Получаем:

Значит, площадь треугольника ABT, равна:

Ответ: