Задание 16.Вариант 10 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

Задание 16.Вариант 10 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

Задание 16. На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники АКС, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM,

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 10.

Решение.

а) Рассмотрим четырехугольник ALBC, у которого углы ACB = ALB = 90°, а значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма противоположных углов ACB+ALB = 180°). Тогда хорды AL = LB (треугольники АКС, ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги  , следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны:  ;  ;  , следовательно, LC перпендикулярна KM и LC – высота треугольника KLM.

б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:

Пусть BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка пересечения AB и CL. Так как  , то CB – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрис:

Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:

С решением:

Так как углы  , то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:

и  . Из равенства KM = KC + CM, получаем:

Следовательно:

Ответ: 50