Задание 16. Вариант 11 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 16.  Вариант 11 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке Р.

а) Докажите, что CP = АВ.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что АС = 3 и ВС = 4.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник ABC, в котором отмечены медианы AM, BN и CF. Медианы пересекаются в одной точке P и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. То есть можно записать, что CP=2FP. Учитывая, что точка F находится на середине отрезка AB и треугольник APB прямоугольный (по условию задания), то точка F является центром описанной окружности вокруг треугольника APB. Следовательно, отрезки AF, FB, FP – радиусы этой окружности, и AB=2FP. Но так как 2FP=2PC, то AB=PC.

б) Пусть   и  , соответственно,   и  . Рассмотрим прямоугольный треугольник BPM (так как  ). В соответствии с теоремой Пифагора можно записать равенство:

Аналогично, из прямоугольного треугольника APN, имеем:

Получаем систему уравнений:

Умножим второе уравнение на 4 и вычтем его из первого, получим:

Подставляя полученное значение в первое уравнение, имеем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник APB, в котором гипотенуза AB равна

Найдем косинус угла   из треугольника ABC по теореме косинусов:

тогда

.

Наконец, площадь треугольника ABC равна:

Ответ:  .