Задание 16. Вариант 12 ЕГЭ 2018 г из 36 вариантов.

Задание 16.  Вариант 12 ЕГЭ 2018 г из 36 вариантов. Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём  .

а) Докажите, что  .

б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке K, Найдите ЕК, если известно, что BE = 40 и СЕ = 24.

Решение.

а) По теореме о внешнем угле треугольника  . Поэтому  .

Значит, точки В, Е, С и О лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы СВЕ и СОЕ опираются на одну и ту же дугу, следовательно,  .

б) По теореме косинусов

Вписанные углы ВЕО и СЕО опираются на равные хорды ВО и СО, значит, ЕО — биссектриса угла ВЕС. Пусть М — точка её пересечения со стороной ВС. По формуле для биссектрисы треугольника

.

По свойству биссектрисы треугольника

,

значит,

По теореме о произведении пересекающихся хорд  , откуда находим, что  . Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно,  .

Ответ: 113.