Задание 16. Вариант 12 егэ 2020 из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 12 егэ 2020 из 36 вариантов

Задание 16. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN = 1/2∙KN, Точка Р — середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если ВМ = 2 и угол BCM = 30°.

Решение.

а) Рассмотрим четырехугольник BNPM: BM=NP,   (по условию). Т.к. в данном четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма (противоположные стороны попарно равны и параллельны) следует, что  . Следовательно, в четырехугольнике BCPM  . Так как точка Р – середина KN, то CP – медиана, проведенная из вершины прямого угла. Поэтому CP=NP=PK. Учитывая, что BM=NP, получаем равенство сторон BM=CP. Таким образом, получаем, что в четырехугольнике BCPM две стороны параллельны (основания), а две другие – равны (боковые стороны), а значит, четырехугольник BCPM – равнобедренная трапеция.

б) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов  . Найдем значения катетов треугольника.

Рассмотрим  :   (т.к.   и   накрест лежащие при  ); MP=CP (т.к. MP=BN из свойств параллелограмма, BN=CP из свойства медианы, проведенной из вершины прямого угла, и условия). Следовательно,   - равнобедренный. А значит,  .

Таким образом, получаем, что  . По свойству равнобедренной трапеции  . Получаем, что   - прямоугольный. По свойству прямоугольного треугольника – катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы – получаем, что BC=4. Аналогично для   получаем гипотенуза AB=8.

По теореме Пифагора:  . И площадь равна:

Ответ: