Задание 16. Вариант 13 ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 16. Вариант 13 ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение.

а) Треугольник ABC – равнобедренный (AB = BC), BH – высота, следовательно, BH – биссектриса угла ABC. Окружность с центром в точке O вписана в угол CBE, поэтому ее центр находится на биссектрисе (BO) угла CBE. Углы ABC и CBE – смежные, их сумма равна 180°, следовательно, сумма углов HBC и OBC равна 90°. Получаем, что в четырехугольнике HBON

то есть, имеем прямоугольник HBON. Его противоположные стороны равны BH=ON и радиус окружности с центром O равен высоте треугольника ABC.

б) Пусть радиус вписанной окружности равен r. Так как радиус описанной окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности, то BH=4r, а   (см. рисунок). Прямоугольник O1MB – прямоугольный, так как   (BC – касательная, а O1M – радиус). Тогда по теореме Пифагора, имеем:

.

Рассмотрим треугольники BO1M и BCH, которые подобны по двум углам (угол B – общий, а  ). Следовательно,

,

откуда

Также CH=CM по теореме об отрезках касательных, то есть,  . Соответственно,

.

Ответ: CM:BM = 1:2.