Задание 16. Вариант 15 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 15 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

Задание 16. В треугольнике ABC известно, что АС = 10 и АВ = ВС = 14.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Решение.

а) MN – средняя линия треугольника ABC и  , следовательно,  . Треугольник OTF – прямоугольный: OT – катет, OF – гипотенуза, следовательно, OF OT и OT

б) По условию AC=10, значит, MN=AC:2 = 5 (по свойству средней линии треугольника). Также дано, что AB=BC=14. Далее, отрезок касательной BP вычисляется как

,

где p – полупериметр треугольника ABC. Получаем:

Найдем длину отрезка  . Так как MP – касательная, а MN – секущая, то по теореме о секущей и касательной, можно записать:

Пусть  , а  . Получаем уравнение:

Значение x=4 не удовлетворяет условию задачи, значит, MF=1, FZ=3, ZN=1. И окончательно, имеем:

MF:FZ:ZN = 1:3:1

Ответ: 1:3:1