Задание 16. Вариант 17. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 16. Вариант 17. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1

а) Докажите, что C1Q — биссектриса угла AC1B1.

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник AC1B1, если известно, что ВС = 15, АВ = 13, АС = 14.

Решение.

а) Поскольку АС1=АВ1, треугольник АВ1С1 равнобедренный, биссектриса его угла А перпендикулярна основанию В1С1 и делит его пополам, значит, высота треугольника B1QC1 проведённая из вершины Q, является его медианой. Значит, треугольник B1QC1 равнобедренный,  .

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

.

Следовательно, C1Q — биссектриса угла АС1В1.

б) Поскольку Q — точка пересечения биссектрис треугольника AB1C1, эта точка — центр окружности, вписанной в треугольник АВ1С1. Значит, искомое расстояние — это длина отрезка OQ, т.е. радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть этот радиус равен r, а полупериметр треугольника ABC равен р. Тогда

Следовательно,

.

Ответ: 4.