Задание 16.Вариант 2. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 16.Вариант 2. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 16. Точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Е.

а) Докажите, что углы EOC = ECO.

б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√3, угол ABC = 60°.

Решение.

а) O – центр вписанной в треугольник ABC окружности, поэтому CO и OB – биссектрисы соответствующих углов. Далее, угол EOC – внешний угол треугольника COB, следовательно,

Углы  , т.к. они опираются на одну и ту же дугу EA. Следовательно,

Отсюда следует, что  .

б) O – центр вписанной в треугольник ABC окружности, а O1 – центр описанной вокруг треугольника ABC окружности. По условию радиус описанной окружности R=6√3. Так как  , то учитывая, что сумма противоположных углов четырехугольника вписанного в окружность, равна 180°, имеем:

Так как BE – биссектриса угла B, то  , значит дуги CE=EA и отрезки CE=EA.

Далее, так как треугольник BCE вписан в окружность с центром O1 и радиусом R=6√3, то по теореме синусов, имеем:

откуда

и  . Найдем площадь треугольника CEA:

Ответ: 27√3