Задание 16. Вариант 21 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 21 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

Задание 16. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN = 1/2∙KN, Точка Р — середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если ВМ = 1 и угол BCM = 15°.

Решение.

а) Поскольку прямая NP параллельна прямой ВМ и NP = 1/2∙KN = ВМ = BN, четырёхугольник BNPM — ромб. Значит, прямая РМ параллельна прямой ВС, а так как CP — медиана прямоугольного треугольника KCN, проведённая из вершины прямого угла, то CP = 1/2∙KN = BN = РМ = ВМ. Следовательно, четырёхугольник ВСРМ — равнобедренная трапеция.

б) Поскольку CP =1/2∙KN = BN = PM, треугольник СРМ равнобедренный, поэтому  . Значит, CM – биссектриса угла BCP. Тогда

Следовательно,

Ответ: