Задание 16. Вариант 22. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 16. Вариант 22. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.

Решение.

а) Пусть О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC со сторонами АВ = АС = 49, ВС = 34, АН — высота треугольника, точки М и N — середины сторон АВ и АС соответственно, K — точка пересечения АН и MN, p — полупериметр треугольника ABC. Поскольку MN — средняя линия равнобедренного треугольника, точка K — общая середина MN и АН.

Из прямоугольного треугольника АВН находим, что

,

значит,  .

Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC. Тогда

,

а диаметр вписанной окружности равен  . Очевидно,  , значит  .

Следовательно, вписанная окружность пересекает среднюю линию MN треугольника.

б) Пусть вписанная окружность касается сторон АВ и АС в точках D и Е соответственно, а средняя линия MN пересекает эту окружность в точках Р и Q (Р между М и Q). Тогда

По теореме о касательной и секущей  , а так как

то  . Отсюда находим, что PQ = 8.

Ответ: 8.