Просмотр содержимого документа
«Задание 16. Вариант 23. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.»
Задание 16. Вариант 23. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.
В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 60°, угол ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.
а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.
Решение.
а) Высоты AM, BN, CP пересекаются в одной точке (одна из замечательных точек треугольника). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то есть, и , следовательно,
(*)
По условию , а треугольники CP1B и AM1B – прямоугольные с гипотенузой PM.
б) Аналогично с (*) находим
и
По теореме синусов из треугольника ABC, имеем:
,
где R – радиус описанной окружности. Получаем:
и , так как PM – диаметр окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP с катетом MN, лежащий против угла в 30°, то есть, . Найдем катет NP по теореме Пифагора:
Площадь треугольника MNP, равна:
.
Ответ: 6√3.