Задание 16 Вариант 24. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 16 Вариант 24. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

 В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 60°, угол ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 10

Решение.

а) Высоты AM, BN, CP пересекаются в одной точке (одна из замечательных точек треугольника). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то есть,   и  , следовательно,

  (*)

По условию  , а треугольники CP1B и AM1B – прямоугольные с гипотенузой PM.

б) Аналогично с (*) находим

и

По теореме синусов из треугольника ABC, имеем:

,

где R – радиус описанной окружности. Получаем:

; R=

и PM= , так как PM – диаметр окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP с катетом MN, лежащий против угла в 30°, то есть,  MN==

. Найдем катет NP по теореме Пифагора:

=10,

Площадь треугольника MNP, равна:

S= .NP =

Ответ задания:  .