Просмотр содержимого документа
«Задание 16. Вариант 25. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.»
Задание 16. Вариант 25. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 31 соответственно.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.
Решение.
Найдено решение такого же или подобного задания
Источник задания: Решение 3251. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.
Задание 16. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.
Решение.
а) В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB=AC=38, а основание BC=26. Вписанная окружность с центром в точке O пересекает среднюю линию MN в точке P и Q и высоту AH в точке K. Сторон треугольника окружность касается в точках D, E и H, то есть, отрезки OD=OE=OH=r.
Так как MN – средняя линия, то
,
. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB (так как AH – высота). В соответствии с теоремой Пифагора, имеем:
Сторона
(так как MN – средняя линия). Выразим радиус r окружности через площадь треугольника ABC:
,
где p – полупериметр треугольника, откуда
.
Также, площадь треугольника ABC равна
Таким образом,
,
а
. Заметим, что длина отрезка
и это значит, что
,
то есть окружность пересекает среднюю линию MN.
б) Требуется найти длину отрезка PQ (см. рисунок). Точки M и N средней линии MN лежат в центрах отрезков AB и AC соответственно. То есть,
. По теореме о касательных к окружности AD=AE, BD=BH, CE=CH и периметр треугольника ABC:
Отсюда
(MD – касательная к окружности, MN – секущая). По теореме о касательной и секущей, имеем:
Подставим в (*) значения MP и MQ, получим:
Ответ: 5.
Ответ задания: 12.