Задание 16. Вариант 26. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 16. Вариант 26. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём угол BEC = 120°.

а) Докажите, что угол CBE равен углу COE.

б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите EK, если известно, что BE = 12 и СЕ = 20.

Решение.

а) Задан прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Так как угол CAB равен 30°, то

(как внешний угол для треугольника AOB). В четырехугольнике OBEC   по условию задания,   (см. выше), следовательно,

,

это означает, что вокруг этого четырехугольника можно описать окружность и все точки B, E, C, O лежат на ней, а вписанные углы COE и CBE опираются на одну дугу CE, то есть, они равны  .

б) Стороны EO и CB пересекаются в точке M и  . Найдем BC по теореме косинусов из треугольника BEC:

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, следовательно, EO – биссектриса угла BEC. По формуле для биссектрис (в треугольнике BEC), имеем:

По свойству биссектрис:

,

откуда

.

Так как BC = CM+BM = 28, получаем:

а

По теореме о произведении пересекающихся хорд, имеем:

Треугольник COM равен треугольнику AOK по стороне и двум прилегающим к ней углам и OC=AO (диагонали в прямоугольнике делятся точкой пересечения пополам). Также   как вертикальные и   как накрест лежащие. Поэтому OM = OK = 24,5 и

Ответ: 56,5.