Задание 16. Вариант 27 ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 27 ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 16. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке Р. Докажите, что  .

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4/3 и 1/3.

Решение.

а) Пусть Q — точка пересечения продолжений боковых сторон. Точка Q, центры окружностей и точка Р лежат на одной прямой, причём QP — биссектриса прямоугольного треугольника AQD, Следовательно, по свойству биссектрисы треугольника  .

б) Пусть окружность с центром O1 радиуса R = 4/3 касается боковой стороны АВ в точке Е, а основания AD — в точке М; окружность радиуса r = 1/3 с центром O2 касается боковой стороны АВ в точке F, а основания ВС — в точке N.

Опустим перпендикуляр O2Н из центра меньшей окружности на отрезок О1Е. Тогда

,

а так как линия центров окружностей проходит через их точку касания,

.

Значит,

.

Обозначим  . Тогда  . Получаем:

Из треугольника O2CN находим:

Следовательно,

.

Аналогично,  ,

.

Учитывая, что

,

получаем

.

Ответ: 116/7.