Задание 16.Вариант 28. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 16.Вариант 28. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 6 и АН = 2√5.

Решение.

а) По условию задания CD – диаметр, поэтому угол DBC = 90° (как вписанный угол, опирающийся на диаметр) и  . По условию  , следовательно,   и  , откуда следует, что  .

Трапеция BCFA вписана в окружность, следовательно, BCFA – равнобедренная трапеция с AB = CF. По условию  ,  , поэтому треугольник ABE – равнобедренный с AB = BE и  . Следовательно, BE = CF и   и четырехугольник BCFE – параллелограмм по признаку параллелограмма.

б) Рассмотрим треугольник DAE:  , AH = HE, следовательно, треугольник DAE – равнобедренный и  ,   (вертикальные углы равны). Углы DAF и DCF опираются на одну дугу DF, следовательно, они равны и

,

получаем, что  , а треугольник CEF – равнобедренный с EF=CF=AB=6. Треугольник ABH – прямоугольный с AB=6, AH=2√5, значит,

По теореме о пересекающихся хордах:

Величина   и

Отрезок DB, равен

Площадь четырехугольника ABCD равна

где  ; EH1 – высота параллелограмма, равная BH = 4; BC=EF=AB=6 (см. выше). В результате, имеем:

и

.

Ответ:  .