Задание 16. Вариант 30 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 16. Вариант 30 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 16. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 9, ВС = CD = 11, AD = 15 и диагональю АС =16.

а) Докажите, что около него можно описать окружность.

б) Найдите диагональ BD.

Решение.

а) Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов будет равна 180 градусов. Это необходимое и достаточное условие для доказательства этого положения. Докажем, что сумма углов  . Рассмотрим треугольник ABC, в котором известны все стороны, тогда угол   можно найти по теореме косинусов как

Аналогично для угла   из треугольника ADC, имеем:

Таким образом, косинусы углов отличаются только знаком, следовательно, можно записать, что

то есть вокруг данного четырехугольника можно описать окружность.

б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать:

Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD:

Вычтем (1) и (2), получим:

Подставим это значение в (2), найдем BD:

и

.

Ответ:  .

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 3, ВС = CD = 5, AD = 8 и диагональю АС = 7.

а) Докажите, что около него можно описать окружность.

б) Найдите диагональ BD.

Решение.

а) У любого четырехугольника вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусов. Покажем, что для заданного четырехугольника выполняется это свойство. Рассмотрим треугольник ABC, в котором косинус угла B в соответствии с теоремой косинусов будет равен:

Аналогично для противоположного угла D из треугольника ACD, имеем:

Таким образом, получаем, что сумма углов  , следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать:

Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD:

Вычтем (1) и (2), получим:

Подставим это значение в (1), найдем BD:

и

.

Ответ:  .