Задание 16. Вариант 35. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 35. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов

Задание 16. Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

Решение.

а) Дана трапеция ABCD, в которой M – середина BC, а N – середина AD (см. рисунок ниже). Следовательно,

BM=MC и AN=ND      (1).

По условию задания в трапецию ABMN можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны:

AB+MN = BM+AN,

откуда

MN = BM+AN-AB.

Аналогично для трапеции MCDN:

CD+MN = MC+ND

MN = MC+ND-CD

Приравниваем два выражения для MN, имеем:

BM+AN-AB = MC+ND-CD

и, учитывая равенство (1), получаем:

-AB = -CD

AB = CD

Получаем равенство боковых сторон, значит, трапеция ABCD – равнобедренная.

б) Так как радиус вписанных окружностей равен 4, значит, высота трапеции MN=2∙4=8. Также по условию дана длина BC=14 и, следовательно, BM=BC:2=14:2=7. Обозначим BF через x (см. рисунок ниже). Тогда BM1=x как отрезки касательных.

Получаем, что M1M=7-x, поэтому и MZ=7-x,

NZ = MN-MZ = 8-(7-x) = x+1,

следовательно, N1N=x+1 (так как соответствующие отрезки касательных равны). Так как MZ=ZN (радиус O1Z вписанной окружности будет параллелен основаниям трапеции), имеем:

Значит, BF=BM1 = 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BO1A (он прямоугольный, так как AO1 и BO1 – биссектрисы, а  , поэтому  ). Квадрат высоты OF1, проведенной из прямого угла, равен:

и по теореме Пифагора

Обозначим радиус малой окружности AO=y, тогда

Учитывая, что треугольники AFO1 и AYO подобны по двум углам, можем записать отношение:

Ответ: 1.