Задание 16. Вариант 6 ЕГЭ 2016 из 30 вариантов

Задание 16. Вариант 6 ЕГЭ 2016 из 30 вариантов

Задание 16. На сторонах АВ, BС, CD и AD параллелограмма ABCD отмечены точки K, L, М и N соответственно, причём AK/KB = BL/LC = CM/MD = DN/NA.

а) Докажите, что четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и ABCD, если известно, что АК : KB = 3:2.

Решение.

а) Пусть   и  , тогда   и  , где   - коэффициенты пропорциональности. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то  ,  ,   и  , а угол   (см. рисунок). Из этих равенств следует, что треугольники KBL и MDN равны по двум сторонам и углу. Тогда отрезки KL=NM. Аналогично и для треугольников AKN и LCM, у которых две равные стороны и угол, следовательно, LM=KN. Таким образом, четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, является параллелограммом, то есть KLMN – параллелограмм.

б) Так как АК:KB = 3:2, то  ,  ,  , и аналогично для  ,  ,  . Площадь параллелограмма ABCD можно вычислить по формуле

Площадь параллелограмма KLMN вычислим как разность между площадью параллелограмма ABCD и площадями четырех равных треугольников AKN:

и отношение площадей, равно

.

Ответ:  .