Задание 16. Вариант 7 ЕГЭ 2019 профиль

Задание 16. Вариант 7 ЕГЭ 2019 профиль

Задание 16. Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 9, ВС = 8, CD = 4, AD = 15.

а) Докажите, что прямая O1O2 параллельна основаниям трапеции ABCD.

б) Найдите O1O2.

Решение.

а) Точка O1 равноудалена от прямых AD и ВС. Значит, точка O1 лежит на средней линии трапеции ABCD. Аналогично, точка O2 лежит на средней линии трапеции ABCD. Следовательно, прямая O1O2 содержит среднюю линию трапеции ABCD, а значит, прямая O1O2 параллельна основаниям трапеции ABCD.

б) Пусть K — середина стороны АВ, a L — середина стороны CD. Точка О1 равноудалена от прямых АВ, ВС и AD, поэтому лучи АО1 и ВО1 являются биссектрисами углов DAB и ABC соответственно. Значит,

,

то есть угол AO1B = 90°. Следовательно, KO1 — медиана, проведённая к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника AO1B.

Аналогично, треугольник CO2D прямоугольный, а LO2 — медиана, проведённая к его гипотенузе CD. Точки K, O1, O2 и L лежат на средней линии трапеции ABCD. Значит,

Ответ: 5.