Задание 16. Вариант 9. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 9. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Задание 16. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что АВ = CF.

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12,  угол BAC = 35°, угол ACB = 65°.

Решение.

а) Угол BCD – вписанный и опирается на диаметр окружности, значит, он равен 90°. Далее, пусть  , тогда  . Учитывая, что  ,  . Получаем:  , откуда следует, что дуги   и, следовательно, CF=AD.

б) Угол  , тогда   (так как дуги AD=CF, см. п. а) и  . Из треугольника ABC найдем угол ABC:

Значит,

Учитывая, что треугольник DBF прямоугольный с гипотенузой DB=2∙12=24 и углами 30° и 60°, катет DF, лежащий против угла в 30°, равен:

Ответ: 12.