Задание № 17. Дифференцированные платежи. Задачи на определение процентной ставки
Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год разные. Таким образом, если кредит взят на n лет, то это значит, что сумму кредита а разделили на n равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на
по сравнению с долгом на начало года.
Заметим,
I. что каждая выплата состоит из двух частей: первая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (месяц), вторая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг.
Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна a). А далее он еще вносит
часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на
часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.
II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.
При вычислении суммы “набежавших” процентов после вынесения за скобку общего множителя в скобках получается сумма чисел, составляющих арифметическую прогрессию, которую находим по формуле
Задача 1.
Десять лет назад Григорий брал в банке кредит на 4 года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила 32,5% от кредита. Под какой процент был взят кредит?
Решение:
Пусть а руб – сумма кредита
р % – процентная ставка
n = 4 года – период кредитования
Год | Сумма долга | Выплата ( начисленные проценты) | Остаток |
1 | | | |
2 | | | |
3 | | | |
4 | | | 0 |
Сумма начисленных процентов:
По условию переплата по кредиту составила 32,5 % от кредита, т.е.:
Ответ: 13 %.
Задача 2.
Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 21 месяц. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 33% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Решение:
Пусть а руб – сумма кредита
р = r % – процентная ставка
n = 21 месяц – период кредитования
Месяц | Сумма долга | Выплата ( начисленные проценты) | Остаток |
1 | | | |
2 | | | |
3 | | | |
… | | | |
21 | | | 0 |
Все выплаты составляют:
По условию общая сумма выплат на 33% больше суммы кредита, то есть:
Ответ: 3%
Примечание. Можно было решить так:
Пусть S – переплата, тогда
По условию переплата
равна 0,33а.
0,33а
Задания для самостоятельного решения:
1. Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 25% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Ответ: 2,5 %.
2. Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Ответ: 1,5 %.
3. Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 18% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Ответ: 2 %.
4. Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 9% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Ответ: 1 %.