Задание № 16. Дифференцированные платежи. Задачи на определение процентной ставки

Задание № 17. Дифференцированные платежи. Задачи на определение процентной ставки

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год разные.   Таким образом, если кредит взят на n лет, то это значит, что сумму кредита а разделили на n равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на по сравнению с долгом на начало года.

Заметим,  

I. что каждая выплата состоит из двух частей: первая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (месяц), вторая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг.

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна a). А далее он еще вносит часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.  

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

При вычислении суммы “набежавших” процентов после вынесения за скобку общего множителя в скобках получается сумма чисел, составляющих арифметическую прогрессию, которую находим по формуле

Задача 1.

Десять лет назад Григорий брал в банке кредит на 4 года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила 32,5% от кредита. Под какой процент был взят кредит?

Решение:

Пусть а руб – сумма кредита

р % – процентная ставка

n = 4 года – период кредитования

Сумма начисленных процентов:

По условию переплата по кредиту составила 32,5 % от кредита, т.е.:

Ответ: 13 %.

Задача 2.

Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 33% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

Решение:

Пусть а руб – сумма кредита

р = r % – процентная ставка

n = 21 месяц – период кредитования

Все выплаты составляют:

По условию общая сумма выплат на 33% больше суммы кредита, то есть:

Ответ: 3%

Примечание. Можно было решить так:

Пусть S – переплата, тогда

По условию переплата равна 0,33а.

0,33а

Задания для самостоятельного решения:

1. Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 25% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

Ответ: 2,5 %.

2. Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

Ответ: 1,5 %.

3. Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 18% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

Ответ: 2 %.

4. Клиент банка планирует взять 15 августа кредит на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 9% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

Ответ: 1 %.