Задание 17. Вариант 30 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 17. Вариант 30 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 17. 15-го января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

— 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;

— выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.

Если переводить в банк каждый год по 2 073 600 рублей, то кредит можно выплатить за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года.

Найдите a.

Решение.

Обозначим через   сумму кредита. Тогда в конце первого года он будет увеличен до   рублей. Для простоты записи обозначим через  . После этого делается платеж   в размере 2073600 рублей, получаем сумму долга:

.

В следующем году сумма долга вновь увеличивается на   процентов и погашается на величину  , имеем:

.

В результате, через 4 года получим сумму долга

.       (1)

Соответственно, при выплате кредита за 2 года платежами  , получим

.

Умножим последнее выражение на   и вычтем из уравнения (1), получим:

.

Решаем кубическое уравнение, получаем подходящее значение  , то есть

 % годовых.

Решение кубического уравнения

Решим кубическое уравнения, умножим обе его части на -1, получим:

.

Это уравнение представляет собой кубический многочлен относительно переменной t. Тогда его можно разделить на величину  , где a – один из (любой) корней кубического уравнения и получить квадратное уравнение относительно неизвестного t. Теорема Безу гарантирует в этом случае нулевое значение остатка от деления. Проделаем эту операцию. Для поиска какого-либо корня кубического уравнения выбирается его свободный член   и записываются делители этого числа:

и путем их подстановки (вместо t) проверяются на соответствие корням. Первое число t=1 дает:

не подходит. Второе число t=-1:

подходит, то есть t=-1 является одним из корней кубического уравнения. Теперь выполним деление кубического многочлена на t-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

В результате получаем квадратное уравнение для оставшихся двух корней:

Подставляем вместо   и  , вычисляем эти корни:

.

Так как проценты начисляются на сумму долга, то величина t должна быть больше 0. Следовательно, из всех трех корней подходит только значение t=1,2.

Ответ: 20.