Задание № 16. Задачи на оптимальный выбор. Фермер и два поля

Задание 17 ЕГЭ по математике (профиль). Задачи на оптимальный выбор. Фермер и два поля

Задача 1. (№ 513292)

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 500 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 5 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение.

Составим таблицу:

1) Продавать свёклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свёклой.

Она принесет доход 10 га · 500 ц/га · 8 000 руб./ц = 40 млн. руб.

2) Прибыль с 1-го поля составляет:

Так как линейная убывающая функция, то наибольшее значение функция достигает при

Общая прибыль: 40 + 25 = 65 (млн. руб.)

Ответ: 65 млн. рублей.

Примечание. Приведем ещё одно решение:

Доход с 1 га картофеля на первом поле:   руб.

Доход с 1 га картофеля на втором поле:    руб.

Доход с 1 га свеклы на первом поле:   руб.

Доход с 1 га свеклы на втором поле:   руб.

Таким образом, первое поле выгодно полностью засадить картофелем, а второе — свёклой. Суммарно получаем:

руб.

Задания для самостоятельного решения:

1. (№ 513296)

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 84 млн. руб.

2. (№ 515785)

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 69 млн. рублей.

3. (№ 517184)

У фермера есть два поля, каждое площадью 8 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 350 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 2500 руб. за центнер, а свёклу — по цене 3000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 14,2 млн. рублей.

4. (№ 517222)

У фермера есть два поля, каждое площадью 15 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 2000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 3000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 30 млн. рублей.