Задание 19. Вариант 30 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 19. Вариант 30 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 19. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключённые между числами 210 и 350.

а) Может ли такая прогрессия состоять их четырёх членов?

б) Может ли такая прогрессия состоять их пяти членов?

Решение.

а) Допустим, что первый член геометрической прогрессии равен  , а  . Тогда следующие три члена геометрической  последовательности будут равны

б) Предположим, что знаменатель геометрической прогрессии определяется как  , где   - взаимно простые натуральные числа, причем  . Тогда для пяти членов прогрессии должно выполняться условие

.

Здесь величина   (первый член прогрессии) выбрана так, чтобы она делилась на   нацело (иначе не получим натуральное число с учетом того, что   взаимно простые). Отсюда следует, что   и так как  , то  . Учитывая, что  , имеем  , следовательно

и

,

то есть пять членов такой геометрической прогрессии быть не может.

Ответ: а) да; б) нет.