Задание 24. ОГЭ 2023

Задание 24. ОГЭ 2023

Задание 24. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка KP, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.

Решение.

Пусть сторона BC=x, тогда AB=2x, так как она в 2 раза больше стороны BC по условию задачи. Рассмотрим четырехугольник CPKB, который вписан в окружность. Как известно, у такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть   и  . Предположим, что угол  , тогда угол  , теперь, учитывая, что углы   и   смежные, то угол

то есть он равен углу  . Аналогично и для угла  . Из равенства этих двух пар углов следует, что треугольники ACB и APK подобны друг другу по двум углам.

Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

,

откуда

и подставляя числовые значения, имеем:

.

Ответ: 17.