Задание 25 ОГЭ. Четырёхугольники и их элементы.

ЗАДАНИЕ 25 ОГЭ.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ И ИХ ЭЛЕМЕНТЫ.

1. (77, 315010) В параллелограмме проведены перпендикуляры и к диагонали (см. рисунок). Докажите, что — параллелограмм.

Решение.

Для того, чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, достаточно доказать, что у него противоположные стороны равны и параллельны (признак параллелограмма).

Рассмотрим и .

(по признаку равенства прямоугольных треугольников: «если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны»). Значит, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, а именно: .

Кроме того,

(по признаку параллельности прямых: «если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны»).

Итак, – параллелограмм ( по признаку параллелограмма), ч.т.д.

1. (340935) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны Докажите, что — биссектриса угла .

Решение.

По условию задачи . Т.к. - середина , то Значит, – равнобедренный с основанием . Тогда, по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, т.е. . как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Итак,

(как углы, равные одному и тому же углу). Значит, по определению биссектрисы угла, – биссектриса , ч.т.д.

1. (341344) Биссектрисы углов и трапеции пересекаются в точке , лежащей на стороне . Докажите, что точка равноудалена от прямых , и .

Решение.

I способ. По свой­ству бис­сек­три­сы угла, так как точка  лежит на биссектрисе , то она рав­но­уда­ле­на от пря­мых  и . Так как эта же точка лежит на биссектрисе , то она рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC и CD. Значит, точка  рав­но­уда­ле­на от прямых , и , ч.т.д.

II способ. Расстояние от точки до прямой определяется по перпендикуляру, поэтому проведём из точки перпендикуляры к сторонам , и и докажем, что эти перпендикуляры равны.

Рассмотрим и .

(по признаку равенства прямоугольных треугольников: «если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны»). Значит, .

Рассмотрим и .

(по признаку равенства прямоугольных треугольников). Значит, .

Итак, , ч.т.д.

1. (341396, 349074) Точка — середина боковой стороны трапеции . Докажите, что площадь треугольника равна половине площади трапеции.

Решение.

I способ. Проведём дополнительное построение. .

Рассмотрим и .

(по II признаку равенства треугольников)

Рассмотрим . – медиана (по свойству медианы треугольника) , ч.т.д.

II способ. Проведём высоты трапеции и .

.

Рассмотрим и .

(по признаку равенства прямоугольных треугольников).

;

, ч.т.д.

1. (341511, 340347) Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Решение.

Пусть точка – середина основания трапеции , а точка – середина основания . Тогда отрезок делит трапецию на две трапеции: и . Проведём высоты и трапеции и найдём площади получившихся трапеций и .

Так как и , то , ч.т.д.

1. (155, 314849) В параллелограмме точки , , и лежат на его сторонах, как на рисунке, причём . Докажите, что — параллелограмм.

Решение.

Для того, чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, достаточно доказать, что у него противоположные стороны попарно равны (признак параллелограмма).

Докажем сначала равенство отрезков и . Используем III аксиому планиметрии («Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разделён какой-нибудь точкой»)

по свойству сторон параллелограмма; по условию. Значит, .

Аналогично доказывается, что .

Рассмотрим и .

по I признаку равенства треугольников

Рассмотрим и .

по I признаку равенства треугольников

Итак, у четырёхугольника стороны попарно равны, значит, этот четырёхугольник является параллелограммом, ч.т.д.

1. (181, 315120) Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Решение.

Так как восьмиугольник правильный, то у него все стороны и все углы равны, причём его угол вычисляется по формуле:

.

По I признаку равенства треугольников («Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны»):

.

Кроме того, эти же равные треугольники являются равнобедренными, значит, углы при основаниях у них равны, т.е.

Тогда . Значит, все углы четырёхугольника – прямые.

Итак, у четырёхугольника все углы прямые и все стороны равны, значит, такой четырёхугольник является квадратом, ч.т.д.

1. (315039) Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Решение.

Так как исходный шестиугольник правильный, то у него все стороны и все углы равны. Каждую сторону разделили пополам точками и соединили эти точки. Получили равные равнобедренные треугольники (I признак равенства треугольников). Значит, стороны у получившегося шестиугольника равны. Каждый угол этого шестиугольника является разностью (развёрнутого угла) и суммы двух равных углов (углы при основании равнобедренного треугольника). Значит, в полученном шестиугольнике все стороны и углы равны, значит, он является правильным, ч.т.д.

1. (51, 3112603, 311555, 311696, 314812, 314895, 314919) В параллелограмме точка — середина стороны . Известно, что . Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение.

Рассмотрим и .

(по III признаку равенства треугольников). Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых, значит, .

По свойству углов параллелограмма, . Значит, в параллелограмме все углы прямые, поэтому, данный параллелограмм является прямоугольником, ч.т.д.

1. (311663, 311573) В параллелограмме проведены высоты и . Докажите, что подобен .

Решение.

Рассмотрим и .

(по I признаку подобия треугольников), ч.т.д.

1. (311603) В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключённые внутри параллелограмма, равны.

Решение.

Пусть и – биссектрисы и соответственно. Тогда, . Так как, по свойству углов параллелограмма, , то .

Рассмотрим и .

(по II признаку равенства треугольников). Следовательно, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, а конкретно, , ч.т.д.

1. (311608) Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение.

Рассмотрим и .

(по III признаку равенства треугольников). Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых, значит, .

По свойству углов параллелограмма, . Значит, в параллелограмме все углы прямые, поэтому, данный параллелограмм является прямоугольником, ч.т.д.

1. (311607) Дана равнобедренная трапеция . Точка лежит на основании и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что — середина основания .

Решение.

Так как то – равнобедренный, следовательно, . Так как трапеция – равнобедренная, то .

Рассмотрим и .

(по I признаку равенства треугольников), следовательно, , значит, – середина основания , ч.т.д.

1. (311667) Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.

Решение.

Пусть точка – середина стороны , а точка – середина стороны . В параллелограмме противоположные стороны равны. Так как, по условию, три стороны равны, значит, равны все четыре стороны. По определению параллелограмма, . Кроме того,

. Значит, в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, поэтому, этот четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма). Следовательно, .

, ч.т.д.

1. (311925) В параллелограмме проведены высоты и к сторонам и соответственно, при этом . Докажите, что — ромб.

Решение.

Рассмотрим и .

(по признаку равенства прямоугольных треугольников: «Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны»). Следовательно, все соответствующие углы и стороны этих треугольников равны, а именно, . Учитывая, что у параллелограмма противоположные стороны равны, получаем: , а это означает, что – ромб, ч.т.д.

1. (314822, 314977, 314987) В параллелограмме диагонали и пересекаются в точке . Докажите, что площадь параллелограмма в четыре раза больше площади треугольника .

Решение.

Проведём высоту параллелограмма .

Рассмотрим и .

(по II признаку равенства треугольников).

Для доказательства равенства этих треугольников можно использовать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Значит, .

, ч.т.д.

1. (315047) Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.

Решение.

Так как шестиугольник правильный, то у него все стороны и все углы равны. Значит, по I признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, , а это значит, что треугольник – равносторонний, ч.т.д.

1. (333131, 349523, 333322) Внутри параллелограмма выбрали произвольную точку . Докажите, что сумма площадей треугольников и равна половине площади параллелограмма.

Решение.

Проведём высоту параллелограмма через точку .

. Здесь мы учли свойство сторон параллелограмма () и использовали формулу площади параллелограмма (). Утверждение доказано.

1. (339506) Основания и трапеции равны соответственно и , . Докажите, что треугольники и подобны.

Решение.

Рассмотрим и .

(по II признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)), ч.т.д.

1. (340387, 357080) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке стороны . Докажите, что — середина .

Решение.

I способ. Пусть , тогда по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых. Так как и – биссектрисы этих углов, то

.

По свойству углов параллелограмма . Из . А это означает, что - равнобедренный, т.е. .

Из . Это означает, что - равнобедренный, т.е. .

Итак, , т.е. точка – середина стороны , ч.т.д.

II способ. Проведём через точку прямую, параллельную сторонам и . Получили два параллелограмма и . В каждом из этих параллелограммов диагональ является биссектрисой ( и ). А это является признаком ромба, т.е. и точка – середина , ч.т.д.

1. (339625) В выпуклом четырёхугольнике углы и равны. Докажите, что углы и также равны.

Решение.

Рассмотрим и .

(по I признаку подобия треугольников)

(по свойству пропорции) .

Рассмотрим и .

(по II признаку подобия треугольников). Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, а именно, , а значит, , ч.т.д.

1. (340055) В трапеции с основаниями и диагонали пересекаются в точке . Докажите, что площади треугольников и равны.

Решение.

I способ. Рассмотрим и .

(по I признаку подобия треугольников)

по свойству вертикальных углов.

, ч.т.д.

II способ.

Рассмотрим и , и покажем, что их площади равны. Проведём две высоты трапеции и . Очевидно, что . Найдём площади треугольников и

.

Теперь выразим площади и :

, ч.т.д.

1. (340104) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Докажите, что .

Решение.

Рассмотрим и .

(по II признаку равенства треугольников). Следовательно, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, а именно, , ч.т.д.

1. (340370) Известно, что около четырёхугольника можно описать окружность и что продолжения сторон и четырёхугольника пересекаются в точке . Докажите, что треугольники и подобны.

Решение.

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов этого четырёхугольника равна . Т.к. в условии задачи чётко сказано, что описать окружность можно, то

. Однако, является смежным с , значит, их сумма тоже равна . Итак,

.

Теперь рассмотрим и .

(по I признаку подобия треугольников), ч.т.д.

ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. (207) В параллелограмме проведены перпендикуляры и к диагонали (см. рисунок). Докажите, что отрезки и параллельны.

1. (315033) В параллелограмме проведены перпендикуляры и к диагонали (см. рисунок). Докажите, что отрезки и равны.

1. (315096) В параллелограмме проведены перпендикуляры и к диагонали (см. рисунок). Докажите, что треугольники   и   равны.

1. (357103, 339609) Биссектрисы углов и трапеции пересекаются в точке , лежащей на стороне . Докажите, что точка равноудалена от прямых , и .

1. (357105) Биссектрисы углов и трапеции пересекаются в точке , лежащей на стороне . Докажите, что точка равноудалена от прямых , и .

1. (357107) Биссектрисы углов и трапеции пересекаются в точке , лежащей на стороне . Докажите, что точка равноудалена от прямых , и .

1. (357124) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла .

1. (353517) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла .

1. (357125, 341370) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла .

1. (357126, 341537) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла

1. (357127) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла

1. (357128) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла .

2. (357129) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла .

1. (340969) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла .

1. (315075) В параллелограмме точки , и лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём . Докажите, что — параллелограмм.

1. (315087) В параллелограмме точки и лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём Докажите, что — параллелограмм.

1. (315110) В параллелограмме точки и лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём . Докажите, что — параллелограмм.

1. (311251, 314810, 314886, 314900, 314915, 314922, 314911) В параллелограмме точка — середина стороны . Известно, что . Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

1. (311259, 314881, 314908) В параллелограмме точка — середина стороны . Известно, что . Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

1. (311549) В параллелограмме точка — середина стороны . Известно, что . Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

1. (314830, 314940, 314982) В параллелограмме диагонали и пересекаются в точке . Докажите, что площадь параллелограмма в четыре раза больше площади треугольника .

1. (134939, 314962, 314974) В параллелограмме диагонали и пересекаются в точке . Докажите, что площадь параллелограмма в четыре раза больше площади треугольника .

1. (314948, 314949, 314978) В параллелограмме диагонали и BD пересекаются в точке . Докажите, что площадь параллелограмма в четыре раза больше площади треугольника .

1. (315124) Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.

1. (333026, 339602) Точка — середина боковой стороны трапеции . Докажите, что площадь треугольника равна половине площади трапеции.

1. (333105) Точка — середина боковой стороны трапеции . Докажите, что площадь треугольника равна половине площади трапеции.

1. (340321) На средней линии трапеции с основаниями и выбрали произвольную точку . Докажите, что сумма площадей треугольников и равна половине площади трапеции.

1. (351020, 348716) На средней линии трапеции с основаниями и выбрали произвольную точку . Докажите, что сумма площадей треугольников и равна половине площади трапеции.

1. (340995) Основания и трапеции равны соответственно и , . Докажите, что треугольники и подобны.

1. (341131) Основания и трапеции равны соответственно и , . Докажите, что треугольники и подобны.

1. (352211) Основания и трапеции равны соответственно и , . Докажите, что треугольники и подобны.

1. (348542) Основания и трапеции равны соответственно и , . Докажите, что треугольники и подобны.

1. (348674) Основания и трапеции равны соответственно и , . Докажите, что треугольники и подобны.

1. (348828) Основания и трапеции равны соответственно и . Докажите, что треугольники и подобны.

1. (349883) Основания и трапеции равны соответственно и . Докажите, что треугольники и подобны.

1. (351462) Основания и трапеции равны соответственно и . Докажите, что треугольники и подобны.

1. (352053) Основания и трапеции равны соответственно и . Докажите, что треугольники и подобны.

1. (357081, 353559) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке лежащей на стороне . Докажите, что — середина

1. (341027) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке стороны . Докажите, что — середина .

1. (357089) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке , лежащей на стороне . Докажите, что — середина .

1. (357090) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке , лежащей на стороне . Докажите, что — середина .

1. (341722) В выпуклом четырёхугольнике углы и равны. Докажите, что углы и также равны.

1. (357058) В выпуклом четырёхугольнике углы и равны. Докажите, что углы и также равны.

1. (357059) В выпуклом четырёхугольнике углы и равны. Докажите, что углы и также равны.

1. (350517, 357091) В трапеции с основаниями и диагонали пересекаются в точке . Докажите, что площади треугольников и равны.

1. (349904) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Докажите, что .

1. (351704) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Докажите, что .

1. (357102) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Докажите, что BP=DQ.

1. (352949) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Докажите, что

1. (348892) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла .

1. (355303, 355402) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла .

1. (355428) Сторона параллелограмма вдвое больше стороны . Точка — середина стороны . Докажите, что — биссектриса угла .

6