Задание 25 ОГЭ. Треугольники и их элементы.

ЗАДАНИЕ 25 ОГЭ.

ТРЕУГОЛЬНИКИ И ИХ ЭЛЕМЕНТЫ.

1. (103; 315022) На стороне треугольника выбраны точки и так, что отрезки и равны. Оказалось, что отрезки и тоже равны. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

Решение. Треугольник будет равнобедренным, если у него или , поэтому необходимо доказать равенство и .

Рассмотрим сначала – равнобедренный по свойству равнобедренного треугольника. Тогда – по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны).

Рассмотрим и по I признаку равенства треугольников, следовательно, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, а конкретно, и . Значит, равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника, ч.т.д.

1. (340341, 341688) Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке . Докажите, что углы и равны.

Решение. Рассмотрим и

по I признаку подобия треугольников, следовательно, стороны у этих треугольников пропорциональны, т.е. . Используем следующее свойство пропорции: в верной пропорции, все члены которой отличны от нуля, можно менять местами её крайние и средние члены. Поменяем местами средние члены пропорции, получим: .

Рассмотрим и

по II признаку подобия треугольников. Значит, по определению подобных треугольников, все соответствующие углы этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

1. (340854, 340243) В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

Решение. Рассмотрим и

по I признаку подобия треугольников, следовательно, все соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны, т.е. . Используя свойство пропорции, поменяем местами средние члены пропорции:

Рассмотрим и

по II признаку подобия треугольников, ч.т.д.

1. (340880) В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Решение. Рассмотрим и

по I признаку подобия треугольников, следовательно все соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны, т.е. . По свойству пропорции: .

Рассмотрим и

по II признаку подобия треугольников , а значит, и , ч.т.д.

1. (340906) Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD⊥ EF.

Решение. Рассмотрим и

по III признаку равенства треугольников, значит, по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны).

– равнобедренный (), в этом треугольнике является биссектрисой т.к. , значит, по свойству равнобедренного треугольника, является и медианой, и высотой. По определению высоты , ч.т.д.

1. (129; 314856) В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K— середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Решение. Треугольник равносторонний, значит, . – средние линии треугольника (т.к. они соединяют середины двух сторон). По свойству средней линии треугольника . Правые части у этих равенств равны, значит, равны и левые части, т.е. . В все три стороны равны, значит, он равносторонний, ч.т.д.

1. (311561) На стороне треугольника отмечены точки и так, что . Докажите, что если , то .

Решение. В этой задаче рисунок не прилагается, поэтому расположение точек и может быть в двух вариантах. Рассмотрим каждый из них.

I. Пусть точка лежит между точками и , как показано на рисунке. Тогда равнобедренный, следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, . Значит, и по свойству смежных углов. по I признаку равенства треугольников , следовательно, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

II. Пусть точка лежит между точками и , как показано на рисунке. Тогда, докажем равенство отрезков и

Тогда равнобедренный, следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, . Значит, и по свойству смежных углов. по I признаку равенства треугольников , следовательно, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

1. (311567) На медиане треугольника отмечена точка . Докажите, что если , то .

Решение. Т.к. , то – равнобедренный, в нём является медианой, следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, она является и биссектрисой, и высотой. Значит, и, очевидно, . В является и медианой, и высотой, значит, этот треугольник равнобедренный, т.е. ч.т.д.

1. (311602) Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

Решение. – равнобедренный, значит, (по свойству равнобедренного треугольника).

и – биссектрисы углов и соответственно, поэтому, и . Т.к. , то

Рассмотрим и

по II признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы и стороны этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

1. (311605) Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CD равны.

Решение. Рассмотрим и

Рассмотрим и .

по I признаку равенства треугольников, значит, , ч.т.д.

1. (311606) Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.

Решение.

как стороны равных прямоугольников.

. Используя формулу приведения , получаем, что . Значит,

, ч.т.д.

1. (311665) Докажите, что у равных треугольников ABC и A₁B₁C₁ биссектрисы, проведённые из вершин A и A₁, равны.

Решение. Т.к. треугольники равны, то все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, т.е. . Т.к. и – биссектрисы равных углов и , то они делят углы на равные части, т.е.

.

Рассмотрим и

по II признаку равенства треугольников, следовательно, , ч.т.д.

1. (311669) В треугольнике угол равен 36°, , — биссектриса. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

Решение. Т.к. – равнобедренный, то . Значит,

Т.к. — биссектриса , то . Значит, , поэтому – равнобедренный, ч.т.д.

1. (311969) Окружность касается стороны треугольника , у которого и продолжений его сторон и за точки и соответственно. Докажите, что периметр треугольника равен диаметру этой окружности.

Решение. Продолжения сторон и касаются окружности в точках и соответственно, сторона касается окружности в точке . По свойству касательных, они составляют с радиусом, проведённым в точку касания, прямой угол. Значит, . Тогда четырёхугольник является квадратом (). По свойству отрезков касательных, пересекающихся в одной точке, и . Значит, . Запишем формулу периметра треугольника

. Итак, периметр треугольника равен диаметру окружности, касающейся стороны и продолжения сторон и , ч.т.д.

1. (315085) На стороне треугольника выбраны точки и так, что отрезки и равны (см. рисунок). Оказалось, что углы и тоже равны. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

Решение. Т.к. , то по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны). Тогда – равнобедренный, следовательно, .

Рассмотрим и

по I признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, т.е. и – равнобедренный, ч.т.д.

1. (316334) В остроугольном треугольнике угол равен 60° . Докажите, что точки центр описанной окружности треугольника и центр вписанной окружности треугольника лежат на одной окружности.

Решение. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника – точка , – радиусы этой окружности. Значит, – вписанный в эту окружность, а – центральный угол этой окружности. По свойству вписанных в окружность углов, .

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис углов треугольника – точка , – биссектрисы углов и , значит, и . По сумме углов треугольника, . Из треугольника по сумме углов треугольника . Значит, . Итак, . Значит, равные углы опираются на одну и ту же хорду , поэтому они являются вписанными, т.е. точки лежат на одной окружности, ч.т.д.

1. (333348; 349266) Известно, что около четырёхугольника можно описать окружность и что продолжения сторон и четырёхугольника пересекаются в точке . Докажите, что треугольники и подобны.

Решение. Т.к. окружность описана около четырёхугольника , то – как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу ; – как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу . – смежный с , значит, по свойству смежных углов, (из по сумме углов треугольника).

Рассмотрим и

по I признаку подобия треугольников, ч.т.д.

1. (339384) Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Решение.

Т.к. – медиана треугольника, то она делит сторону пополам, т.е. . – по свойству смежных углов. Тогда по формуле приведения . Сторона – общая. Значит, , ч.т.д.

ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. (357100) В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

1. (357101, 350829) В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

1. (315008) В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равнобедренный.

1. (315030) В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что ВMKN — ромб.

1. (315051) В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что АMNK — ромб.

1. (311773) В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

1. (316244; 311829) В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

1. (311861; 316271) В остроугольном треугольнике ABC, точки A, C, центр описанной окружности O и точка пересечения высот H лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

1. (316297) В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, точка пересечения высот H и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°

1. (315062) На стороне треугольника выбраны точки и так, что углы и равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки и тоже равны. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

1. (315119) На стороне треугольника выбраны точки и так, что отрезки и равны (см. рисунок). Оказалось, что углы и тоже равны. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

2. (353162) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что углы BB₁C₁ и BCC₁ равны.

1. (357060) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

1. (348485) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁A₁ и CAA₁ равны.

1. (351134) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что углы BAA₁ и BB₁A₁ равны.

1. (352415) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы AA₁C₁ и ACC₁ равны.

1. (353001) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁B и CBB₁ равны.

3