Задание №6. Планиметрия

Задание № 6. Планиметрия.

1. У треугольника со сторонами 12 и 15 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 10. Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.

Ответ: 8

2. В треугольнике ABC угол A равен 56°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 124°

3. В треугольнике ABC угол C равен 66°, биссектрисы AD и BEпересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 123°

4. Угол A прямоугольного треугольника равен 64°. Найдите угол AOE, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 77°

5. В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC.

Ответ: 0,4

6. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, sin∠BAC = 0,5. Найдите высоту AH.

Ответ: 4

7. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH – высота, sin∠BAC=7/25. Найдите sin∠BAH.

Ответ: 0,96

8. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH – высота, tg∠BAC=7/24. Найдите cos∠BAH.

Ответ: 0,28

9. В треугольнике ABC известно, что AC = BC=4√15, cos∠BAC=0,25. Найдите высоту AH.

Ответ: 7,5

10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=10, AC=√51. Найдите sin∠A.

Ответ: 0,7

11. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 30,25

12. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 31°

13. Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 78°

14. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.

Ответ: 31°

15. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен 90°, угол Bравен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 55°

16. В треугольнике ABC AC=BC=20, AB=28.Найдите косинус угла A.

Ответ: 0,7

17. В треугольнике ABC известно, что AC=BC=7, tg∠A= √33/4 .  Найдите AB.

Ответ: 8

18. В треугольнике ABC AC = BC = 5, sin∠A =0,8. Найдите АВ.

Ответ: 6

19. В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 45√3. Найдите AB.

Ответ: 90

20. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 1, cos∠A= √17/17.  Найдите высоту CH.

Ответ: 2

21. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 16, tg∠A=0,5. Найдите высоту CH.

Ответ: 4

22. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 4, высота CH=2√3. Найдите угол С.

Ответ: 60°

23. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, tg∠A=√5/2. Найдите AB.

Ответ: 9

24. В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, угол C равен 156°, угол CBD – внешний. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 168°

25. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена медиана CD, причем величины углов BDC и ADCотносятся как 4:5. Найдите величину угла А в градусах.

Ответ: 40°

26. Высота AD треугольника АВС делит противоположную сторону на части: CD = 4, BD =1,5. Найдите длину стороны АC, если tg∠B = 2.

Ответ: 5

27. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 8, sin∠A=0,5. Найдите BH.

Ответ: 4

28. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, cos∠A = 0,6. Найдите высоту CH.

Ответ: 2,4

29. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, AB=2√3. Найдите высоту CH.

Ответ: 1,5

30. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 3, cos∠A= √35/6. Найдите AH.

Ответ: 17,5

31. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13, tg∠A = 1/5. Найдите AH.

Ответ: 12,5

32. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 13, tg∠A = 1/5. Найдите высоту CH.

Ответ: 2,5

33. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 25, BH= 20. Найдите cos∠A.

Ответ: 0,6

34. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC=8, высота AH равна 4. Найдите sin∠ACB.

Ответ: 0,5

35. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AHравна 8. Найдите sin∠BAC.

Ответ: 0,8

36. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC, AB = 5, высота AHравна 4. Найдите cos∠BAC.

Ответ: 0,6

37. В треугольнике ABC угол C равен 90°, синус ∠В=7/25. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

Ответ: 0,96

38. В треугольнике ABC угол C равен 90°, косинус угла В=0,6. Найдите косинус внешнего угла при вершине А.

Ответ: -0,8

39. В треугольнике ABC угол C равен 90°, косинус внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите синус ∠B.

Ответ: 0,1

40. В треугольнике ABC угол C равен 90°, тангенс внешнего угла при вершине A равен -2. Найдите тангенс ∠B.

Ответ: 0,5

41. В треугольнике ABC AC=BC=√17, AB=8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине В.

Ответ: -0,25

42. В треугольнике ABC AC=BC=8, косинус внешнего угла при вершине В равен -0,5. Найдите AB.

Ответ: 8

43. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 51°

44. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 70°, CH — высота. Найдите разность углов ACH и BCH. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 10°

45. В треугольнике ABC угол A равен 30°, CH — высота, угол BCHравен 22°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 38°

46. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 52°

Задание № 6. Планиметрия.

47. В треугольнике ABC CH — высота, AD — биссектриса, угол BAD=26°. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 116°

48. В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол C равен 85°, AD — биссектриса, E— такая точка на AB, что AE=AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 40°

49. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 86°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE=CB. Найдите угол BDE.

Ответ: 56°

50. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 49°

51. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 82°

52. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Ответ: 20

53. Больший угол равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 41°

54. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 40°

55. Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 72°

56. Один угол равнобедренного треугольника на 90° больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30°

57. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.

Ответ: 4,5

58. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 18,5

59. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=13, BC=7 и AD=11. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Ответ: 5

60. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 103°

61. Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину D трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

Ответ: 0,5

62. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/5 окружности. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36°

63. На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 200°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 80°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 40°

64. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 35°

65. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол CAD равен 32°, угол ABD равен 57°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 89°

66. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30°

67. Найдите хорду, на которую опирается угол равный 30°, вписанный в окружность радиуса 3.

Ответ: 3

68. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 150°

69. Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную √2. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45°

70. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную √2. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 135°

71. Найдите хорду, на которую опирается угол 120, вписанный в окружность радиуса √3.

Ответ: 3

72. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 105°

73. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 100°

74. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95°, 49°, 71°, 145°. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 108°

75. Сторона правильного треугольника равна √3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 1

76. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 38√3. Найдите сторону этого треугольника.

Ответ: 114

77. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 33°

78. Угол ACB равен 54°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 15°

79. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 58°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 122°

80. Угол ACO равен 28°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D. Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 118°

81. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 270, а отношение соседних сторон равно 2 : 15.

Ответ: 102

82. Периметр прямоугольника равен 76, а площадь 192. Найдите большую сторону прямоугольника.

Ответ: 32

83. Периметр прямоугольника равен 26, а диагональ равна 12. Найдите площадь этого прямоугольника.

Ответ: 12,5

84. Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4:5, а другая сторона равна 6. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 48

85. Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

Ответ: 8

Задание № 6. Планиметрия.

86. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 8:5, считая от вершины острого угла. Найдите боковую сторону параллелограмма, если его периметр равен 84.

Ответ: 16

87. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30°

88. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Ответ: 2

89. В параллелограмме ABCD AB=21, AD=3, sin∠A=6/7. Найдите большую высоту параллелограмма.

Ответ: 18

90. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Ответ: 10

91. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Ответ: 6

92. Сумма двух углов параллелограмма равна 100°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 130°

93. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 90°

94. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3:7. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 126°

95. Найдите высоту ромба, сторона которого равна √3, а острый угол равен 60°.

Ответ: 1,5

96. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Ответ: 48

97. Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна √3, а острый угол равен 60°.

Ответ: 3

98. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен 5/11. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 10

99. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен 60°. Найдите ее периметр.

Ответ: 69

100. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Ответ: 23

101. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Ответ: 10

102. Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ:15

103. Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Ответ: 4

104. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ: 20

105. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ: 0,5

106. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Ответ: 12

107. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50°? Ответ дайте в градусах

Ответ: 115

108. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Ответ: 38

109. Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 15

110. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Ответ: 9

111. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 42

112. В трапеции АВСD основание AB равно 10. Средняя линии EFпересекается с диагональю BD в точке О. Разность отрезков ЕО и OFравна 3. Найдите среднюю линию EF.

Ответ: 7

113. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а ее периметр равен 42. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 88

114. Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 40. Боковые стороны равны 25. Найдите косинус острого угла трапеции.

Ответ: 0,6

115. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 7 и 3, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

Ответ: 20

116. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен 2/√3. Найдите сторону этого треугольника.

Ответ: 4

117. Периметр треугольника равен 70, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 140

118. Сторона ромба равна 1, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Ответ: 0,25

119 Периметр правильного шестиугольника равен 30. Найдите диаметр описанной окружности.

Ответ: 10

120. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен √3.

Ответ: 2

121. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 900°

122. Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника равен 168°. Найдите число вершин многоугольника. (без рисунка)

Ответ: 30

123. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

Ответ: 50

124. Площадь круга равна 1/π. Найдите длину его окружности.

Ответ: 2

125. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Ответ: 2

126. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.

Ответ: 22

127. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ: 24

128. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Ответ: 22

129. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ: 6

130. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Ответ: 6

131. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Ответ: 2

132. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Ответ: 25

133. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ: 1