Задание на 14.12.2020 для групп первого курса А11, Т11, Вс11

ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

ЗАПИСАТЬ КОНСПЕКТ И ВЫПОЛНИТЬ КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

Если производная f' функции f имеет производную, то ее производная и называется второй производной исходной функции.

Иными словами: f'' = (f')'.

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной ) и обозначают символом .

Пример 1: Найти вторую производную функции: f(x)=x³ -4x² +2x-7.

В начале найдем первую производную данной функции f"(x)=(x³ -4x² +2x-7)’=3x² -8x+2,

Затем, находим вторую производную от полученной первой производной

f""x)=(3x² -8x+2)’’=6x-8. Ответ: f""x) = 6x-8.

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения, то ускорение точки равно второй производной от пути по времени.

Скорость материального тела равна первой производной от пути, то есть: Ускорение материального тела равно первой производной от скорости

Пример 2: Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t² (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с. (Путь измеряется в метрах, время в секундах).
Решение
v (t )= s΄ (t )=(3+2t+t²)’=2+2t
a (t )= v΄ (t )=(2+2t)’=2(м/с2)
v (3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с). Ответ: 8 м/с; 2 м/с 2 .

Если мы берем какую-то физическую величину, и берем от нее производную, например, от времени, это означает скорость возрастания этой физической величины от времени. Простой пример: берем расстояние, которое прошел человек, выражаем ее какой-то формулой, берем производную от этой формулы по времени, получаем- угадайте что? Скорость этого человека! Но, очень важно упомянуть, что мы получаем скорость этого человека от времени. Значит, если мы возьмем производную от скорости по времени, то мы получим скорость возрастания... Скорости? Ну, да, как-то так.

Лично я всегда понимаю все гораздо проще на примерах, поэтому: Идет человек ранним утром, и пьет кофе. Каждый раз, когда он выпивает глоток, то его скорость увеличивается, но увеличивается постепенно. Значит, его скорость растет, значит человек ускоряется. Итак, в общем случае, физический смысл производной- скорость роста той или иной величины в зависимости от той величины, по которой мы берем эту самую производную. Если мы возьмем производную еще раз, получим скорость возрастания скорости и так далее.

Геометрический смысл производной пригодится вам а) для вычисления производной непосредственно из графика б) для анализа графика "на глаз" (например, если вы видите, что график функции растет все большими темпами, вы можете сообразить, что производная увеличивается) Физический смысл нужен для решения физических задач и чтения физических графиков. Например, если вы знаете, что скорость - это производная координаты по времени, то проанализировав график x(t), можно в два счета определить, что происходит со скоростью

Контрольная работа №4

Основы математического анализа

1.Найдитеf^/(х), f^/(-1), f^/(0), f^/(1)

2. Составьте уравнение касательной к графику функции, в точке х=-1

3. Постройте графики прямой и обратной функции на одной координатной плоскости

4. Найдите первую f^/(х), и вторую f^//(х) производную функции, если f(х)=nx+nх²+1

5.Исследуйте функцию на максимум и минимум

6. Исследуйте функцию на (не)четность и вычислите значение функции в точке х=2 и х=-2

1. Найдите значение функции в точках х=0, х=3/2, х= -1, x=1

если у=-nх³+nx²-n

1. Исследуйте функцию на монотонность, данные возьмите из задания 5

2. Где встречается в жизнедеятельности человека табличный и графический способ задания функции?

3. Запишите несколько функции, которые являются нечетными.