Задание для групп первого курса Вс11, Са11, са12 на 30.10.2020 по теме"Свойства функции"

Лекция Свойства функций: монотонность, четность и нечет­ность, периодичность, ограниченность

1. Свойство1 Монотонность

Функция у = f(х) называется монотонной на множестве Х, если она на этом промежутке или убывает или возрастает.

Если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (а; b), то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания.

Пример. Исследовать функцию на монотонность:

у = 6 – 2х.

Решение: х₁ меньше х_2; х₁=0 и х₂=1, f(х)=6-2х

f(х₁)=6-2*0=6 и f(х₂)=6-2*1=4, тогда f(х₁)больше f(х₂)

Ответ: Заданная функция убывает на всей числовой оси

1. Свойство2 Ограниченность

Если у функции существует у_наим. , то она ограничена снизу. Если у_наиб. , то ограничена сверху.

функция ограничена сверху и снизу

Если у функции существует у_наим. , то она ограничена снизу.

Если у_наиб. , то ограничена сверху.

1. Свойство 3 Выпуклость

Функция у = f(х) выпукла вниз на промежутке X ∊ D(f);

Функция у = f(х) выпукла вверх на промежутке X ∊ D(f).

1. Свойство 4 Непрерывность

Функция у = f(х) непрерывна на промежутке X ∊ D(f);

Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

1. Свойство 5 Четность, нечетность

Если х ∊ D(f), f(–х)= f(х), то y = f(x) – четная.

функция у = х² – четная функция,

т.к. f(–x) = (–x)² = x² = f(x);

Если х ∊ D(f), f(–х)= –f(х), то у = f(x) – нечетная.

Функция у = х³ – нечетная функция,

т.к. f(–x) = (–x)³ = –x³ = – f(x);

1. Свойство 6 Периодичность

Периодическими функциями являются тригонометрические функции y=sinx, y=cosx ( с периодом 2π), y=tgx, y=ctgx ( с периодом π). Начертите самостоятельно график функции y=sinx.