Задание для группы Вс21по теме "Понятие матрицы, условное обозначение матрицы, размер матрицы, виды матриц" на 20.10.2020

Матрицы имеют важное значение в прикладной математике.

Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще

в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел,

содержащая m - строк и n - столбцов.

• 

• Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными

• и образуют главную диагональ.

• Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют

• элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn .

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах

такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. Например

6. Единичная матрица: m=n 

7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m / j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

• Пример.

• 

9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji следовательно A'=A

• Например,

• 

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a_ij=-a_ji (т.е. на симметричных

относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы).

Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a_ii=-a_ii)

• Пример.

• 

• Ясно, A'=-A

Равенство матриц.

• A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

• 1. Сложение матриц - поэлементная операция

• 

• 2. Вычитание матриц - поэлементная операция

• 

• 3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

• 

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец

(число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

• A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений

• элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца

• матрицы B , т.е.

• 

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

• 

• m1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n)

• т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

• 

• Строки и столбцы поменялись местами

Пример