Задание№8 егэ профильного уровня по математике из открытого банка ФИПИ.

Профиль – 8 (2019)

1). Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

2). Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).

3). Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы — прямые).

4). Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы — прямые).

5). В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

6). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37.Найдите длину отрезка BD.

7). В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.

8). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=48, SC=73. Найдите длину отрезка AC.

9). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SD=26, AC=20. Найдите длину отрезка SO.

10). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=21, AC=40. Найдите длину отрезка SB.

11). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD 
с вершиной S точка O — центр основания, SO=35, BD=24. Найдите длину отрезка SD.

12). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SB=29, AC=40. Найдите длину отрезка SO.

13). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=15, AC=40. Найдите длину отрезка SA.

14). В правильной четырёхугольной  пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO=6, SA=10. Найдите длину отрезка BD.

15). В правильной четырёхугольной  пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO=30, SA=34. Найдите длину отрезка AC.

16). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 37, сторона основания равна 35√2.  Найдите объём пирамиды.

17). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 17, сторона основания равна 15√2.  Найдите объём пирамиды.

18). В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды.

19). В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.

20). Объём треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю линию её основания проведена плоскость (см. рисунок). Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

21). Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

22). Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

23). Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 37. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

24). Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 7, боковое ребро призмы равно 6. Найдите объём призмы.

25). Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 7, объём призмы равен 56. Найдите боковое ребро призмы.

26). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=4, AA1=5.

27). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=16, A1B1=2, A1D1=8. Найдите длину диагонали AC1.

28). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=8, CD=8, AD=14. Найдите длину диагонали BD1.

29). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=6, CD=17, AD=6. Найдите длину диагонали CA1.

30). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=6, AD=8, AA1=9.  Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.

31). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BA1 и D1C1.  Ответ дайте в градусах.

32). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=6, BC=5, AA1=4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1.

33). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=9, BC=6, AA1=5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1.

34). Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, A1, B1, C1.

35). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

36). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

37). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9.

38). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

39). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1. Площадь основания призмы равна 7, а боковое ребро равно 9.

40). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, A1, B1, C1, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.

41). Найдите объём многогранника, вершинами  которого являются вершины A, C, D, F, A1, C1, D1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11.

42). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, E, F, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

43). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A1, B1, F1, A правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.

44). В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.

45). В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 98 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

46). В цилиндрический сосуд налили 500 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.

47). В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

48). В цилиндрический сосуд, в котором находится 8 дм³ воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм³.

49). В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

50). В цилиндрический сосуд налили 2800 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 13 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.

51). Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 6 раз, а высоту оставить прежней?

52). Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней?

53). Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 9. Найдите объём цилиндра.

54). Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 18. Найдите объём конуса.

55). Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр).  Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 252.

56). Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 63.

57). Высота конуса равна 12, а диаметр основания равен 70. Найдите длину образующей конуса.

58). Высота конуса равна 32, а диаметр основания равен 48. Найдите длину образующей конуса.

59). Высота конуса равна 24, а длина образующей равна 25. Найдите диаметр основания конуса.

60). Диаметр основания конуса равен 18, а длина образующей равна 41. Найдите высоту конуса.

61). Высота конуса равна 21, а длина образующей равна 29. Найдите диаметр основания конуса.

62). Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей – 25. Найдите высоту конуса.

63). Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

64). Площадь полной поверхности конуса равна 15. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 2:3, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

65). Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12 π, а диаметр основания равен 6. Найдите высоту цилиндра.

66). Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра.

67). Площадь боковой поверхности цилиндра равна 20 π, а высота равна 4. Найдите диаметр основания.

68). В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы равны 2/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

69). Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра.

70). Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

71). Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

72). Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 3√2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

73). В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 25 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

74). В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 144 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

75). Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2. Найдите образующую конуса.

76). Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 50√2. Найдите радиус сферы.

77). Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 39. Найдите объём шара.

78). Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара.

79). Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.  Радиус сферы равен 26√2. Найдите образующую конуса.

80). Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.  Образующая конуса равна 36√2. Найдите радиус сферы.

81). Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 16.  Найдите его объём.

82). Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

83). Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.

84). Шар вписан в цилиндр.  Площадь поверхности шара равна 120. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

85). Шар вписан в цилиндр.  Площадь поверхности шара равна 29. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

86). Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50.  Найдите объём цилиндра.

87). Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8,5.  Найдите его объём.

88). Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 17.  Найдите его объём.

89). Радиусы двух шаров равны 9 и 12. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

90). Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

91). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BA1 и D1C1.  Ответ дайте в градусах.

92). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми CD1 и AD.  Ответ дайте в градусах.

93). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AC и BB1.  Ответ дайте в градусах.

94). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AB1 и CD.  Ответ дайте в градусах.

94). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1D и B1D1. Ответ дайте в градусах.

95). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=9, AD=12, AA1=18.  Найдите синус угла между прямыми A1D1 и AC.

96). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AC и BC1.  Ответ дайте в градусах.

97). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BC1 и A1B1.  Ответ дайте в градусах.

98). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми CB1 и AD.  Ответ дайте в градусах.

99). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BA1 и AD1.  Ответ дайте в градусах.

100). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=8, AD=6, AA1=21.  Найдите синус угла между прямыми A1D1 и AC.

101). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми CB1 и C1D1.  Ответ дайте в градусах.

102). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=8, AD=22, AA1=6.  Найдите синус угла между прямыми C1D и AB.

103). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=6, AD=8, AA1=9.  Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.

104). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BD и A1D1.  Ответ дайте в градусах.

105). В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми CD1 и BC1.  Ответ дайте в градусах.

107).Впрямоугольномпараллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно,что AB=9, BC=6, 

AA1=5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1.