Задания № 19 ЕГЭ 2018

Решение задания № 19 (ЕГЭ – 2018)

№ 1  31 де­каб­ря 2014 года Пётр взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под не­ко­то­рый про­цент го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на а%), затем Пётр пе­ре­во­дит оче­ред­ной транш. Если он будет пла­тить каж­дый год по 2 592 000 руб­лей, то вы­пла­тит долг за 4 года. Если по 4 392 000 руб­лей, то за 2 года. Под какой про­цент Пётр взял день­ги в банке?

Ре­ше­ние.

Пусть   — сумма кре­ди­та. Обо­зна­чим еже­год­ные пла­те­жи   и   со­от­вет­ствен­но. Сумма долга каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет­ся на   то есть сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент   После пер­вой вы­пла­ты сумма долга ста­нет рав­ной   после вто­рой вы­пла­ты:   после тре­тье вы­пла­ты:   после четвёртой вы­пла­ты:   Причём долг будет по­га­шен пол­но­стью, по­лу­ча­ем, то есть   Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем урав­не­ние для слу­чая, когда вы­пла­ты со­вер­ша­ют­ся пла­те­жа­ми раз­ме­ром     Имеем си­сте­му урав­не­ний:

Под­ста­вим вы­ра­же­ние для   в пер­вое урав­не­ние:   Пре­об­ра­зу­ем это урав­не­ние:

Под­став­ляя чис­ло­вые зна­че­ния по­лу­ча­ем:

От­ри­ца­тель­ные корни не под­хо­дят по усло­вию за­да­чи, зна­чит,   от­ку­да   то есть Пётр взял день­ги в банке под 20%.

Ответ: 20%.

№ 2

31 де­каб­ря 2014 года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк X руб­лей. Какой долж­на быть сумма X, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна   а го­до­вые со­став­ля­ют   Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент   После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит   После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

После чет­вер­той вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию че­тырь­мя вы­пла­та­ми Алек­сей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му

При   и   по­лу­ча­ем:   и

Ответ: 2 296 350.

№ 3

1 ян­ва­ря 2015 года Тарас Пав­ло­вич взял в банке 1,1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%), затем Тарас Пав­ло­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Тарас Пав­ло­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 220 тыс. руб­лей?

Ре­ше­ние.

Ясно, что чем боль­ше ме­сяч­ные вы­пла­ты, тем быст­рее будет вы­пла­чен долг. Зна­чит, срок кре­ди­та будет ми­ни­ма­лен в том слу­чае, когда вы­пла­ты со­став­ля­ют 220 тыс. руб­лей. Со­ста­вим таб­ли­цу, в пер­вом столб­це ко­то­рой будем ука­зы­вать долг на пер­вое число ме­ся­ца, а во вто­ром — долг в том же ме­ся­це, но уже после вы­пла­ты. Для упро­ще­ния расчётов будем со­хра­нять толь­ко два знака после за­пя­той, пред­став­ляя суммы долга в тыс. руб­лей.

За­ме­тим, что в по­след­ний месяц вы­пла­та со­ста­вит менее 220 тыс. руб. Из таб­ли­цы видно, что ми­ни­маль­ный срок кре­ди­та в усло­ви­ях за­да­чи со­став­ля­ет 6 ме­ся­цев.

Ответ: 6.

№ 4

 Са­ве­лий хочет взять в кре­дит 1,4 млн руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10% го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Са­ве­лий взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 330 тысяч руб­лей?

Ре­ше­ние.

Ясно, что чем боль­ше го­до­вые вы­пла­ты, тем быст­рее будет вы­пла­чен долг. Зна­чит, срок кре­ди­та будет ми­ни­ма­лен в том слу­чае, когда вы­пла­ты со­став­ля­ют 330 тыс. руб­лей. Со­ста­вим таб­ли­цу, в пер­вом столб­це ко­то­рой будем ука­зы­вать долг после на­чис­ле­ния про­цен­тов, а во вто­ром — долг после вы­пла­ты. Для упро­ще­ния расчётов будем со­хра­нять толь­ко два знака после за­пя­той, пред­став­ляя суммы долга в тыс. руб­лей.

За­ме­тим, что в по­след­ний год вы­пла­та со­ста­вит менее 330 тыс. руб. Из таб­ли­цы видно, что ми­ни­маль­ный срок кре­ди­та в усло­ви­ях за­да­чи со­став­ля­ет 6 лет.

Ответ: 6 лет.

№ 5

31 де­каб­ря 2014 года Ти­мо­фей взял в банке 7 007 000 руб­лей в кре­дит под 20% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%), затем Ти­мо­фей пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Ти­мо­фей вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a%. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a. После пер­вой по­ло­ви­ны вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁ = Sb − X. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Ти­мо­фей по­га­сил кре­дит пол­но­стью, по­это­му   от­ку­да 

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим, что если бы Ти­мо­фей гасил долг двумя рав­ны­ми вы­пла­та­ми, то каж­дый год он дол­жен был бы вы­пла­чи­вать   руб­лей. Зна­чит, он отдал банку на   боль­ше.

При S = 7 007 000 и a = 20, по­лу­ча­ем: b = 1,2 и

 (руб­лей).

 (руб­лей).

Зна­чит, 3X−2Y = 806400.

Ответ: 806400.

№ 6

Граж­да­нин Пет­ров по слу­чаю рож­де­ния сына от­крыл 1 сен­тяб­ря 2008 года в банке счёт, на ко­то­рый он еже­год­но кла­дет 1000 руб­лей. По усло­ви­ям вкла­да банк еже­год­но на­чис­ля­ет 20% на сумму, на­хо­дя­щу­ю­ся на счёте. Через 6 лет у граж­да­ни­на Пет­ро­ва ро­ди­лась дочь, и 1 сен­тяб­ря 2014 года он от­крыл в дру­гом банке счёт, на ко­то­рый еже­год­но кладёт по 2200 руб­лей, а банк на­чис­ля­ет 44% в год. В каком году после оче­ред­но­го по­пол­не­ния суммы вкла­дов срав­ня­ют­ся, если день­ги со сче­тов не сни­ма­ют?

Ре­ше­ние.

Через   лет 1 сен­тяб­ря на пер­вом счёте будет сумма

В это же время на вто­ром счёте будет сумма

При­рав­ня­ем эти суммы и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, суммы на сче­тах срав­ня­ют­ся через 11 лет после от­кры­тия пер­во­го вкла­да то есть в в 2019 году.

Ответ: 2019.

№ 7

В 1-е клас­сы по­сту­па­ет 45 че­ло­век: 20 маль­чи­ков и 25 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам: в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 23. После рас­пре­де­ле­ния по­счи­та­ли про­цент де­во­чек в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли. Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма была наи­боль­шей?

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную долю де­во­чек ― оче­вид­но, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют сво­е­го мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дая де­воч­ка в клас­се из 22 че­ло­век со­став­ля­ет   от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из 23 че­ло­век ―   от об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из боль­ше­го клас­са и маль­чи­ка из мень­ше­го, сум­мар­ный про­цент де­во­чек вы­рас­тет. Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из де­во­чек, а в боль­шем клас­се ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ре­ше­ние 2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х де­во­чек (где  ), тогда в боль­ший класс по­па­ло   де­во­чек. Зна­чит, сум­мар­ная доля де­во­чек в двух клас­сах равна   и пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том. Зна­чит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом конце про­ме­жут­ка [2; 22], то есть при   Таким об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из де­во­чек, а в боль­шем клас­се долж­но быть 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ответ: В одном клас­се ― 22 де­воч­ки, в дру­гом ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

№ 8

Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк   от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен был банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Ре­ше­ние.

Пусть фер­мер взял сумму   под   го­до­вых. Через год он стал дол­жен банку сумму   вер­нул в банк три чет­вер­ти долга — сумму   и остал­ся дол­жен   Еще через год фер­мер стал дол­жен банку   внес в банк сумму 1,21  чем рас­счи­тал­ся с бан­ком пол­но­стью. От­сю­да имеем:

Тем самым, банк выдал фер­ме­ру кре­дит под 120% го­до­вых (это ограб­ле­ние).

Ответ: 120.