Задания №4 ЕГЭ по математике профильный уровень

Задания №4

1 вариант

На экзамене 60 билетов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение:

Определим количество благоприятных исходов:60-3=57

Определим вероятность попадания выученного билета:

=0,95 или вероятность попадания выученного билета равна 95%

Ответ: 0,95

2 вариант

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелян-ного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стре-ляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решeние:

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,2·(1 − 0,7) = 0,06 и

0,8·(1 − 0,3) = 0,56. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,06 + 0,56 = 0,62.

Ответ: 0,62.

Приведем другое решение.

Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятно-сти, вероятности этих событий равны соответственно 0,2·0,7 = 0,14 и 0,8·0,3 = 0,24.

Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,14 + 0,24 = 0,38.

Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,38 = 0,62. Ответ: 0,62.

3 вариант

На экзамене 45 билетов, Федя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение:

Определим количество благоприятных исходов: 45-9=36

Определим вероятность попадания выученного билета:

=0,8 или вероятность попадания выученного билета равна 80%

Ответ: 0,8

4 вариант

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решeние:

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,3·(1 − 0,8) = 0,06 и

0,7·(1 − 0,3) = 0,49. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,06 + 0,49 = 0,55. Ответ: 0,55.

5 вариант

На экзамене 40 билетов, Игорь не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение:

Определим количество благоприятных исходов: 40-2=38

Определим вероятность попадания выученного билета:

=0,95 или вероятность попадания выученного билета равна 95%

Ответ: 0,95

6 вариант

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 теннисистов, среди которых 9 участников из России, в том числе Тимофей Трубников. Найдите вероятность того, что в первом туре Тимофей Трубников будет играть с каким-либо теннисистом из России?

Решение:

В первом туре Тимофей Трубников может сыграть с 26 − 1 = 25 теннисистами, из кото-рых 9 − 1 = 8 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Тимофей Трубников будет играть с каким-либо теннисистом из России, равна = 0,32

Ответ: 0,32.

7 вариант

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминто-нистов, среди которых 16 участников из России, в том числе Игорь Чаев. Какова вероят-ность того, что в первом туре Игорь Чаев будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решeние:

В первом туре Игорь Чаев может сыграть с 76−1=75 бадминтонистами, из которых 16−1 =15 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Игорь Чаев будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна

Ответ: 0,2.

8 вариант

Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 15 участников из России, в том числе Геннадий Горьков. Найдите вероят-ность того, что в первом туре Геннадий Горьков будет играть с каким-либо бадминтонис-том из России.

Решeние:

В первом туре Геннадий Горьков может сыграть с 26−1=25 шашистами, из которых 15−1=14 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Геннадий Горьков будет играть с каким-либо шашистом из России, равна

Ответ: 0,56.

9 вариант

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите веро- ятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решeние:

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1000−7 = 993 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Ответ: 0,993.

10 вариант

В среднем из 700 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите веро- ятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решeние:

В среднем из 700 садовых насосов, поступивших в продажу, 700−7 = 693 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Ответ: 0,99.

11 вариант

При изготовлении подшипников диаметром 69 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,975. Найдите вероятность то-го, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 68,99 мм или больше чем 69,01 мм.

Решeние:

По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 68,99 до 69,01 мм с вероят- ностью 0,975. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна

1 − 0,975 = 0,025.

Ответ: 0,025.

12 вариант

В фирме такси в данный момент свободно 16 машин: 4 черных, 3 синих и 9 белых. По вы-зову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет черное такси.

Решeние:

Вероятность того, что к заказчице приедет черное такси равна

Ответ: 0,25.

13 вариант

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем - 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?

Решeние:

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,7, а при каждом следующем - 0,1. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна:

0,7 ≤ 0,04

0,7 ≤

≤

≤ :

≤

≤

≤

Последовательно проверяя значения, равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решени-ем является n=3 . Следовательно, необходимо сделать 3выстрела.

Ответ: 3

14 вариант

В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зе-

леных . По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчи-це. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решeние:

Вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси равна

Ответ: 0,2.

15 вариант

На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При кон-троле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки посту- пают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решeние:

Пусть завод произвел тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% не- выявленных дефектных тарелок: 0,8 + 0,3тарелок. Поскольку качественных из них 0,8 , вероятность купить качественную тарелку равна

Ответ: 0,93

16 вариант

Максим с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 30 кабинок, из них 11 –синие, 7 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.

Решение:

Число всевозможных исходов 30 (все кабинки). Число благоприятных исходов 30–11–7=12 (оранжевые кабинки). Вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке равна

Ответ: 0,4

17 вариант

Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Необходимо найти вероятность события, когда не перегорят обе лампы, либо не перегорит только первая лампа, либо не перегорит только вторая лампа.

По условию вероятность перегорания лампы 0,3. Значит вероятность исправности лампы в течение года равна 1 – 0,3 = 0,7.

Вероятность события:

«не перегорят обе» равна 0,7∙0,7 = 0,49

«не перегорит первая, но перегорит вторая» равна 0,7∙0,3 = 0,21

«перегорит первая, но не перегорит вторая» равна 0,3∙0,7 = 0,21

Таким образом, вероятность того, что в течение года хотя бы одна не перегорит равна

0,49 + 0,21+ 0,21 = 0,91

Второй способ:

Вероятность того, что перегорят обе лампы равна 0,3∙0,3 = 0,09.

Эти события независимые, но при одновременном их совершении их вероятности перемножаются.

Вероятность того, что не перегорит хотя бы одна лампа  равна  1 – 0,09 = 0,91. Это событие противоположное  тому событию, когда перегорят обе лампы.

Ответ: 0,91

18 вариант

Кирилл с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 30 кабинок, из них 8 –фиолетовые, 4 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Кирилл прокатится в оранжевой кабинке.

Решение:

Число всевозможных исходов 30 (все кабинки). Число благоприятных исходов 30–8–4=18 (оранжевые кабинки). Вероятность того, что Кирилл прокатится в оранжевой кабинке равна

Ответ: 0,6

19 вариант

Игорь с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 40 кабинок, из них 21 –серые, 13 – зеленые, остальные – красные. Кабинки по очереди подходят к плат-форме для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится в оранжевой кабин-ке.

Решение:

Число всевозможных исходов 40 (все кабинки). Число благоприятных исходов 40–21–13= 6 (красные кабинки). Вероятность того, что Игорь прокатится в оранжевой кабинке равна

Ответ: 0,15

20 вариант

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика вы- пускает 30% этих стекол, вторая — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных сте- кол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решeние:

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное:

0,3 · 0,03 = 0,009.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное:

0,7 · 0,04 = 0,028.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в ма- газине стекло окажется бракованным равна 0,009 + 0,028 = 0,037.

Ответ: 0,037.

21 вариант

По отзывам покупателей Михаил Михайлович оценил надёжность двух интернет-мага-зинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,81. Вероят-ность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,93. Михаил Михайлович зака-зал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решeние:

Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,93 = 0,07. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,81 = 0,19. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,07 · 0,19 = 0,0133

Ответ: 0,0133

22 вариант

На тарелке 16 пирожков: 8 с мясом, 3 с яблоками и 5 с луком. Настя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом.

Решeние:

Вероятность того, что пирожок окажется с мясом равна

Ответ: 0,5.

23 вариант

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет ге- патит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепати- том, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Извест- но, что 66% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решeние:

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепа- титом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несов-местные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

P(A)=0,9= 0,594

P(B)= 0,02=0,0068

P(A+B)= P(A) + P(B) = 0,594 + 0,0068 = 0,6008

Ответ: 0,6008

24 вариант

На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решeние:

Вероятность того, что пирожок окажется с вишней равна

Ответ: 0,25.

25 вариант

В некоторой местности наблюдения показали:

1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4.

3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Решение:

Вероятность того, что утро пасмурное 0,3. Вероятность того, что утро ясное 1-0,3 = 0,7.

Вероятность того, что при пасмурном утре дождя не будет 1-0,4=0,6

Вероятность того, что при ясном утре дождя не будет 1-0,1=0,9.

Вероятность того, что ясное утро и нет дождя 0,7*0,9 = 0,63.

Вероятность того, что утро пасмурное и нет дождя 0,3*0,6=0,18.

Вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет 0,63 +0,18=0,81.

Ответ: 0,81

26 вариант

Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинками известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с изображением животного.

Решение:

Число всевозможных исходов 30 (общее число наборов пазлов), число благоприятных исходов 18 (с изображением животных). Вероятность того, что Вове достанется пазл с животным равна

Ответ: 0,6

27 вариант

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновремен-но ( считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:

Нам необходимо найти вероятность события, когда занят первый продавец, при этом занят второй, и при этом (занятости первого и второго) ещё занят и третий. Используется правило умножения. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Значит вероятность того, что все три продавца заняты, равна: 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008

Ответ: 0,008

28 вариант

Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 15 с персонажами мультфильмов и 15 с видами природы. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вите достанется пазл с видами при-роды

Решение:

Число всевозможных исходов 30 (общее число наборов пазлов), число благоприятных исходов 15 (с видами природы). Вероятность того, что Вите достанется пазл с видами природы = 0,5

Ответ: 0,5

29 вариант

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновремен-но ( считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:

Нам необходимо найти вероятность события, когда занят первый продавец, при этом занят второй, и при этом (занятости первого и второго) ещё занят и третий. Используется правило умножения. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Значит вероятность того, что все три продавца заняты, равна: 0,4∙0,4∙0,4 = 0,064

Ответ: 0,064

30 вариант

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятно- стью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмей- стеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решeние:

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

0,6 · 0,4 = 0,24 Ответ: 0,24.

31 вариант

В сборнике билетов по химии всего 15 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Кислоты». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Кислоты».

Решение:

Решение: Вероятность, того что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Кислоты", равна 

Ответ: 0,4

32 вариант

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминто- нистов, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Виктор Поляков..Найдите вероятность того, что в первом туре Виктор Поляков будет играть с каким-либо бадмин-тонистом из России?

Решeние:

В первом туре Виктор Поляков может сыграть с 76 − 1 = 75 бадминтонистами, из которых 22 − 1 = 21 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Виктор Поляков будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 21: 75 = 0,28

Ответ: 0,28

33 вариант

В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите веро- ятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решeние:

В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 1500−6 =1494 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 1494:1500=0,996

Ответ: 0,996.

34 вариант

Фабрика выпускает сумки. В среднем 19 сумок из 160 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение:

Всего сумок 160,а без дефектов 160 – 19 = 141.

Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

141:160=0,88

Ответ: 0,88

35 вариант

Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов – в первый день 8 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребь-евкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на пос-ледний день конференции?

Решение:
В первый день 8, в два последующих по 16.
Вероятность в последний день 16: 40 = 0,4
Ответ: 0,4

36 вариант

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 18 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решeние:

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 2000−18=1982 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 1982:2000=0,991

Ответ: 0,991.