Задания для подготовки к ОГЭ по математике 9 класс

Подборка заданий для подготовки к ОГЭ по математике для учащихся 9 «Б» класса.

Май 2017

1. Действия с обыкновенными дробями

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  2.    3.     4. 

5.    6.     7.    8.     9. 

2. Арифметическая прогрессия

1. Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия:  Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её членов.

2. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия   Най­ди­те  .

3. Дана арифметическая прогрессия   Найдите сумму первых десяти её членов.

4. Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из сле­ду­ю­щих чисел есть среди чле­нов этой прогрессии? 1) 83 2) 95 3) 100 4) 102

5. Арифметические про­грес­сии ,  и  за­да­ны фор­му­ла­ми n-го члена: ,  ,  Укажите те из них, у ко­то­рых раз­ность  равна 4.

 1)  и  2)  и  3) ,  и  4) 

6. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 30 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

 1)  2)  3)  4) 

7. Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия: 33; 25; 17; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой прогрессии. 1)  2)  3)  4) 

8. Арифметическая про­грес­сия за­да­на условиями:, . Какое из дан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой прогрессии?

 1) 80 2) 56 3) 48 4) 32

9. Найдите сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −8,6; −8,4; ...

10. Арифметическая про­грес­сия  за­да­на фор­му­лой n-го члена  и известно, что . Най­ди­те пятый член этой прогрессии.

11. В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии    известно, что  . Най­ди­те четвёртый член этой прогрессии.

12. Арифметическая про­грес­сия за­да­на условиями:  . Най­ди­те сумму пер­вых 19 её членов.

13. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

14. Най­ди­те сумму всех по­ло­жи­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 11,2; 10,8; …

15. Какое наи­мень­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, нужно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была боль­ше 465?

16. Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –7,2; –6,9; …

17. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n) за­да­на усло­ви­я­ми: a₁ = 3, a_n + 1 = a_n + 4. Най­ди­те a₁₀.

18. Записаны пер­вые три члена ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии на 91-м месте?

19. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (а_n): −6; −2; 2; … . Най­ди­те a₁₆.

20. Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −87 ; −76; −65; … Най­ди­те пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

21. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

22. Фи­гу­ра со­став­ля­ет­ся из квад­ра­тов так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке: в каж­дой сле­ду­ю­щей стро­ке на 8 квад­ра­тов боль­ше, чем в преды­ду­щей. Сколь­ко квад­ра­тов в 16-й стро­ке?

23. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; −9; x; −13; −15; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x .

24. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна 2,5, a₁ = 8,7. Най­ди­те a₉.

25. Даны пят­на­дцать чисел, пер­вое из ко­то­рых равно 6, а каж­дое сле­ду­ю­щее боль­ше преды­ду­ще­го на 4. Найти пят­на­дца­тое из дан­ных чисел.

26. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна −8,5, a₁ = −6,8. Най­ди­те a₁₁.

27. Арифметическая про­грес­сия  за­да­на условиями:  Най­ди­те  

28. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), для ко­то­рой a₁₀ = 19, a₁₅ = 44. Най­ди­те раз­ность прогрессии.

29. Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = −0,6 + 8,6n. Най­ди­те сумму пер­вых 10 её членов.

30. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна −2,5, a₁ = −9,1. Най­ди­те сумму пер­вых 15 её членов.

31. Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = −11,9 + 7,8n . Най­ди­те a₁₁.

32. Первый член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равен −11,9, а раз­ность про­грес­сии равна 7,8. Най­ди­те две­на­дца­тый член этой прогрессии.

33. Дан чис­ло­вой набор. Его пер­вое число равно 6,2, а каж­дое сле­ду­ю­щее число на 0,6 боль­ше предыдущего. Най­ди­те пятое число этого набора.

34. Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −26 ; −20; −14; … Най­ди­те пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

35. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна 1,1, a₁ = −7. Най­ди­те сумму пер­вых 8 её членов.

36. Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = 1,9 - 0,3n. Най­ди­те сумму пер­вых 15 её членов.

3. Геометрическая прогрессия

1. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии  известно, что . Найти пятый член этой прогрессии. - 64

2. Геометрическая про­грес­сия    за­да­на фор­му­лой   - го члена  . Ука­жи­те чет­вер­тый член этой прогрессии. -54

3. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 2, а . Най­ди­те сумму пер­вых шести её членов.

4. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 75, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 150. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии. В от­ве­те пе­ре­чис­ли­те через точку с за­пя­той первый, вто­рой и тре­тий члены прогрессии.

5. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем  Най­ди­те сумму пер­вых её 4 чле­нов.

6. Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской прогрессии: 17, 68, 272, ... Най­ди­те её четвёртый член.

7. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: … ; 150 ; x ; 6 ; 1,2 ; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

8. Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской прогрессии: −1024; −256; −64; … Най­ди­те сумму пер­вых 5 её членов.

9. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем  Най­ди­те сумму пер­вых её 4 чле­нов.

10. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: … ; 1,75; x; 28 ; −112; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

11. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), для ко­то­рой b₅ = −14, b₈ = 112. Най­ди­те зна­ме­на­тель прогрессии.

12. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем b₁ = −7, b_{n + 1} = 3b_n. Най­ди­те сумму пер­вых 5 её членов.

13. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 2, а b₁ = 16. Най­ди­те b₄.

14. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 5, а  Най­ди­те сумму пер­вых 6 её членов.

15. Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: − 256; 128; − 64; … Най­ди­те сумму пер­вых семи её членов.

16. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), для ко­то­рой b₃ = , b₆ = -196. Най­ди­те зна­ме­на­тель прогрессии.

17. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем b₁ = −3, b_{n + 1} = 6b_n. Най­ди­те сумму пер­вых 4 её членов.

18. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии: … ; -12 ; x ; -3 ; 1,5 ; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x. Х=6

4. Разные задачи

2. На мно­го­пред­мет­ной олим­пиа­де   всех участ­ни­ков по­лу­чи­ли дипломы,  осталь­ных участ­ни­ков были на­граж­де­ны по­хваль­ны­ми грамотами, а осталь­ные 144 че­ло­ве­ка по­лу­чи­ли сер­ти­фи­ка­ты об участии. Сколь­ко че­ло­век участ­во­ва­ло в олимпиаде?       х=231

3. На скла­де есть ко­роб­ки с руч­ка­ми двух цветов: чёрные и синие. Ко­ро­бок с чёрными руч­ка­ми 4, с синими — 11. Сколь­ко всего ручек на складе, если чёрных ручек 640, ко­роб­ки оди­на­ко­вые и в каж­дой ко­роб­ке на­хо­дят­ся ручки толь­ко од­но­го цвета? 640 + 11*160= 2400

4. На мо­лоч­ном за­во­де па­ке­ты мо­ло­ка упа­ко­вы­ва­ют­ся по 12 штук в коробку, причём в каж­дой ко­роб­ке все па­ке­ты одинаковые. В пар­тии молока, от­прав­ля­е­мой в ма­га­зин «Уголок», ко­ро­бок с по­лу­то­ра­лит­ро­вы­ми па­ке­та­ми мо­ло­ка втрое меньше, чем ко­ро­бок с лит­ро­вы­ми пакетами. Сколь­ко лит­ров мо­ло­ка в этой партии, если ко­ро­бок с лит­ро­вы­ми па­ке­та­ми мо­ло­ка 45?(45*1+15*1,5)*12=810

5. За 20 минут ве­ло­си­пе­дист про­ехал 7 ки­ло­мет­ров. Сколь­ко ки­ло­мет­ров он про­едет за 35 минут, если будет ехать с той же ско­ро­стью? 12,25 км

6. Принтер пе­ча­та­ет одну стра­ни­цу за 12 секунд. Сколь­ко стра­ниц можно на­пе­ча­тать на этом прин­те­ре за 8 минут? 60*8=480 сек. 480:12= 40 стр

7. Рас­сто­я­ние от Солн­ца до Юпи­те­ра равно 779 000 000 км. Сколь­ко вре­ме­ни идёт свет от Солн­ца до Юпи­те­ра? Ско­рость света равна 300 000 км/с. 43,3 мин Ответ дайте в ми­ну­тах и округ­ли­те до де­ся­тых.

8. Мас­штаб карты 1:100 000. Чему равно рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми A и B (в км), если на карте оно со­став­ля­ет 2 см? 20 км

9. Рас­сто­я­ние от Солн­ца до Неп­ту­на свет про­хо­дит при­мер­но за 252,95 ми­ну­ты. Най­ди­те при­бли­зи­тель­но рас­сто­я­ние от Солн­ца до Неп­ту­на, ответ округ­ли­те до мил­ли­о­нов км. Ско­рость света равна 300 000 км/с. 4553,1 млн. км

10. Из объ­яв­ле­ния фирмы, про­во­дя­щей обу­ча­ю­щие се­ми­на­ры:

«Сто­и­мость уча­стия в се­ми­на­ре — 3000 р. с че­ло­ве­ка. Груп­пам от ор­га­ни­за­ций предо­став­ля­ют­ся скид­ки: от 3 до 10 че­ло­век — 5%; более 10 че­ло­век — 8%». Сколь­ко руб­лей долж­на за­пла­тить ор­га­ни­за­ция, на­пра­вив­шая на се­ми­нар груп­пу из 4 че­ло­век? 11400 руб

11. Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 150 км/ч, про­ез­жа­ет мимо стол­ба за 6 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах. 250 м

12. В на­ча­ле года число або­нен­тов те­ле­фон­ной ком­па­нии «Восток» со­став­ля­ло 800 тыс. человек, а в конце года их стало 880 тыс. человек. На сколь­ко про­цен­тов уве­ли­чи­лось за год число або­нен­тов этой компании? На 10%

13. Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 150 км/ч, про­ез­жа­ет мимо стол­ба за 18 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах. 750 м

5. Проценты

1. Стоимость про­ез­да в при­го­род­ном элек­тро­по­ез­де со­став­ля­ет 198 рублей. Школь­ни­кам предо­став­ля­ет­ся скидка 50%. Сколь­ко руб­лей стоит про­езд груп­пы из 4 взрос­лых и 12 школьников?

2. Чашка, ко­то­рая сто­и­ла 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При по­куп­ке 10 таких чашек по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 1000 рублей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен получить?

3. Городской бюд­жет со­став­ля­ет 45 млн. р., а рас­хо­ды на одну из его ста­тей со­ста­ви­ли 12,5%. Сколь­ко руб­лей по­тра­че­но на эту ста­тью бюджета?

4. Сберегательный банк на­чис­ля­ет на сроч­ный вклад 20% годовых. Вклад­чик по­ло­жил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если ни­ка­ких опе­ра­ций со сче­том про­во­дить­ся не будет?

5. Товар на рас­про­да­же уце­ни­ли на 20%, при этом он стал сто­ить 680 р. Сколь­ко стоил товар до распродажи?

6. Государству при­над­ле­жит 60% акций предприятия, осталь­ные акции при­над­ле­жат част­ным лицам. Общая при­быль пред­при­я­тия после упла­ты на­ло­гов за год со­ста­ви­ла 40 млн. р. Какая сумма в рублях из этой при­бы­ли долж­на пойти на вы­пла­ту част­ным акционерам?

7. Акции пред­при­я­тия рас­пре­де­ле­ны между го­су­дар­ством и част­ны­ми ли­ца­ми в от­но­ше­нии 3:5. Общая при­быль пред­при­я­тия после упла­ты на­ло­гов за год со­ста­ви­ла 32 млн. р. Какая сумма из этой при­бы­ли долж­на пойти на вы­пла­ту част­ным акционерам?

Ответ ука­жи­те в рублях.

8. Средний вес маль­чи­ков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сер­гея со­став­ля­ет 120% сред­не­го веса. Сколь­ко весит Сергей?

9. В на­ча­ле года число або­нен­тов те­ле­фон­ной ком­па­нии «Север» со­став­ля­ло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколь­ко про­цен­тов уве­ли­чи­лось за год число або­нен­тов этой компании?

10. Тест по ма­те­ма­ти­ке со­дер­жит 30 заданий, из ко­то­рых 18 за­да­ний по алгебре, осталь­ные  –– по геометрии. В каком от­но­ше­нии со­дер­жат­ся в тесте ал­геб­ра­и­че­ские и гео­мет­ри­че­ские задания?

 1) 3:2 2) 2:3 3) 3:5 4) 5:3

11. На счет в банке, доход по ко­то­ро­му со­став­ля­ет 15% годовых, внес­ли 24 тыс. р. Сколь­ко тысяч руб­лей будет на этом счете через год, если ни­ка­ких опе­ра­ций со сче­том про­во­дить­ся не будет? 27600 руб

12. Какая сумма (в рублях) будет про­став­ле­на в кас­со­вом чеке, если сто­и­мость то­ва­ра 520 р., и по­ку­па­тель опла­чи­ва­ет его по дис­конт­ной карте с 5%-ной скидкой? 494 руб

13. В по­не­дель­ник не­ко­то­рый товар по­сту­пил в про­да­жу по цене 1000 р. В со­от­вет­ствии с при­ня­ты­ми в ма­га­зи­не пра­ви­ла­ми цена то­ва­ра в те­че­ние не­де­ли оста­ет­ся неизменной, а в пер­вый день каж­дой сле­ду­ю­щей не­де­ли сни­жа­ет­ся на 20% от преды­ду­щей цены. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить товар на две­на­дца­тый день после по­ступ­ле­ния в продажу?

14. Брюки до­ро­же ру­баш­ки на 20%, а пи­джак до­ро­же ру­баш­ки на 44%. На сколь­ко про­цен­тов пи­джак до­ро­же брюк? Брюки – 1,2х, пиджак – 1,44х Ответ: на 24%

15. Виноград стоит 160 руб­лей за килограмм, а ма­ли­на — 200 руб­лей за килограмм. На сколь­ко про­цен­тов ви­но­град де­шев­ле малины? На 25%

16. Кисть, ко­то­рая сто­и­ла 240 руб­лей, продаётся с 25%-й скид­кой. При по­куп­ке двух таких ки­стей по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 500 руб­лей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить? 140 руб

17. Спор­тив­ный ма­га­зин про­во­дит акцию: «Любая фут­бол­ка по цене 300 руб­лей. При по­куп­ке двух фут­бо­лок — скид­ка на вто­рую 60%». Сколь­ко руб­лей придётся за­пла­тить за по­куп­ку двух фут­бо­лок?

18. В те­че­ние ав­гу­ста по­ми­до­ры по­де­ше­ве­ли на 50%, а затем в те­че­ние сен­тяб­ря по­до­ро­жа­ли на 70%. Какая цена мень­ше: в на­ча­ле ав­гу­ста или в конце сен­тяб­ря — и на сколь­ко про­цен­тов?

В ответе укажите количество процентов.

19. Поступивший в про­да­жу в ап­ре­ле мо­биль­ный те­ле­фон стоил 4000 рублей. В сен­тяб­ре он стал сто­ить 2560 рублей. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена на мо­биль­ный те­ле­фон в пе­ри­од с ап­ре­ля по сентябрь?

20. Ту­ри­сти­че­ская фирма ор­га­ни­зу­ет трех­днев­ные ав­то­бус­ные экс­кур­сии. Сто­и­мость экс­кур­сии для од­но­го че­ло­ве­ка со­став­ля­ет 3500 р. Груп­пам предо­став­ля­ют­ся скид­ки: груп­пе от 3 до 10 че­ло­век — 5%, груп­пе более 10 че­ло­век — 10%. Сколь­ко за­пла­тит за экс­кур­сию груп­па из 8 че­ло­век?

21. Рас­хо­ды на одну из ста­тей го­род­ско­го бюд­же­та со­став­ля­ют 12,5%. Вы­ра­зи­те эту часть бюд­же­та де­ся­тич­ной дро­бью.

22. Со­дер­жа­ние не­ко­то­ро­го ве­ще­ства в таб­лет­ке ви­та­ми­на со­став­ля­ет 2,5%. Вы­ра­зи­те эту часть де­ся­тич­ной дро­бью.

23. Плата за те­ле­фон со­став­ля­ет 340 руб­лей в месяц. В сле­ду­ю­щем году она уве­ли­чит­ся на 2%. Сколь­ко придётся пла­тить еже­ме­сяч­но за те­ле­фон в сле­ду­ю­щем году?

24. В пе­ри­од рас­про­да­жи ма­га­зин сни­жал цены два­жды: в пер­вый раз на 30%, во вто­рой — на 45%. Сколь­ко руб­лей стал сто­ить чай­ник после вто­ро­го сни­же­ния цен, если до на­ча­ла рас­про­да­жи он стоил 1400 р.?

25. На пред­при­я­тии ра­бо­та­ло 240 со­труд­ни­ков. После мо­дер­ни­за­ции про­из­вод­ства их число со­кра­ти­лось до 192. На сколь­ко про­цен­тов со­кра­ти­лось число со­труд­ни­ков пред­при­я­тия?

26.

В на­ча­ле 2010 г. в по­сел­ке было 730 жителей, а в на­ча­ле 2011 г. их стало 803. На сколь­ко про­цен­тов уве­ли­чи­лось число жи­те­лей по­сел­ка за год?

27. После уцен­ки те­ле­ви­зо­ра его новая цена со­ста­ви­ла 0,52 ста­рой. На сколь­ко про­цен­тов умень­ши­лась цена те­ле­ви­зо­ра в ре­зуль­та­те уцен­ки?

28. Число до­рож­но-транс­порт­ных про­ис­ше­ствий в лет­ний пе­ри­од со­ста­ви­ло 0,71 их числа в зим­ний пе­ри­од. На сколь­ко про­цен­тов умень­ши­лось число до­рож­но-транс­порт­ных про­ис­ше­ствий летом по срав­не­нию с зимой?

29.

В на­ча­ле учеб­но­го года в школе было 1250 учащихся, а к концу года их стало 950. На сколь­ко про­цен­тов умень­ши­лось за год число учащихся?

30. Клуб­ни­ка стоит 180 руб­лей за ки­ло­грамм, а ви­но­град – 160 руб­лей за ки­ло­грамм. На сколь­ко про­цен­тов клуб­ни­ка до­ро­же ви­но­гра­да?

31. Ма­га­зин де­ла­ет пен­си­о­не­рам скид­ку на опре­делённое ко­ли­че­ство про­цен­тов от сто­и­мо­сти по­куп­ки. Де­ся­ток яиц стоит в ма­га­зи­не 35 руб­лей, а пен­си­о­нер за­пла­тил за них 33 рубля 25 ко­пе­ек. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет скид­ка для пен­си­о­не­ра?

32. Ма­га­зин дет­ских то­ва­ров за­ку­па­ет по­гре­муш­ку по опто­вой цене 260 руб­лей за одну штуку и продаёт с 40-про­цент­ной на­цен­кой. Сколь­ко будут сто­ить 3 такие по­гре­муш­ки, куп­лен­ные в этом ма­га­зи­не?

33. Суточная норма по­треб­ле­ния ви­та­ми­на С для взрос­ло­го че­ло­ве­ка со­став­ля­ет 60 мг. Один по­ми­дор в сред­нем со­дер­жит 17 мг ви­та­ми­на С. Сколько  про­цен­тов су­точ­ной нормы ви­та­ми­на С по­лу­чил человек, съев­ший один помидор? Ответ округ­ли­те до целых.

34. В го­ро­де 190 000 жи­те­лей, при­чем 29% – это пен­си­о­не­ры. Сколь­ко при­мер­но че­ло­век со­став­ля­ет эта ка­те­го­рия жи­те­лей? Ответ округ­ли­те до тысяч.

6. Статистика, теоремы о вероятностных событиях

1. За­пи­сан рост (в сан­ти­мет­рах) пяти уча­щих­ся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколь­ко от­ли­ча­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этого на­бо­ра чисел от его ме­ди­а­ны? На 10

2. Фирма «Вспышка» из­го­тав­ли­ва­ет фонарики. Ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный фо­на­рик из пар­тии бракованный, равна 0,02. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что два слу­чай­но вы­бран­ных из одной пар­тии фо­на­ри­ка ока­жут­ся небракованными?

3. Сред­ний рост жи­те­ля го­ро­да, в ко­то­ром живет Даша, равен 170 см. Рост Даши 173 см. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1) Даша — самая вы­со­кая де­вуш­ка в го­ро­де.

2) Обя­за­тель­но най­дет­ся де­вуш­ка ниже 170 см.

3) Обя­за­тель­но най­дет­ся че­ло­век ро­стом менее 171 см.

4) Обя­за­тель­но най­дет­ся че­ло­век ро­стом 167 см.

4. Из­вест­но, что в не­ко­то­ром ре­ги­о­не ве­ро­ят­ность того, что ро­див­ший­ся мла­де­нец ока­жет­ся маль­чи­ком, равна 0,512. В 2010 г. в этом ре­ги­о­не на 1000 ро­див­ших­ся мла­ден­цев в сред­нем при­ш­лось 477 де­во­чек. На­сколь­ко ча­сто­та рож­де­ния де­воч­ек в 2010 г. в этом ре­ги­о­не от­ли­ча­ет­ся от ве­ро­ят­но­сти этого со­бы­тия?

5. Ве­ро­ят­ность того, что новая ша­ри­ко­вая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет одну такую ручку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что эта ручка пишет хо­ро­шо.

6. На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ни­ку достаётся одна за­да­ча из сбор­ни­ка. Ве­ро­ят­ность того, что эта за­да­ча по теме «Углы», равна 0,1. Ве­ро­ят­ность того, что это ока­жет­ся за­да­ча по теме «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,6. В сбор­ни­ке нет задач, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся за­да­ча по одной из этих двух тем.

7. Игральную кость бро­са­ют дважды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что сумма двух вы­пав­ших чисел равна 4 или 7.

7. Вычисление по формуле

1. В фирме «Эх, прокачу!» сто­и­мость поездки на такси (в рублях) рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле , где  — дли­тель­ность поездки, вы­ра­жен­ная в ми­ну­тах . Поль­зу­ясь этой формулой, рас­счи­тай­те стоимость 8-минутной поездки.

2. Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма  можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где  — сто­ро­ны параллелограмма (в метрах). Поль­зу­ясь этой формулой, най­ди­те площадь параллелограмма, если его сто­ро­ны 10 м и 12 м и .

3. В фирме «Чистая вода» сто­и­мость (в рублях) ко­лод­ца из же­ле­зо­бе­тон­ных колец рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  , где   — число колец, уста­нов­лен­ных при рытье колодца. Поль­зу­ясь этой формулой, рас­счи­тай­те стоимость ко­лод­ца из 11 колец.

4. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может приближённо под­счи­тать пройденное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл человек, если l = 80 см, n = 1600? Ответ вы­ра­зи­те в километрах.

5. Расстояние s (в метрах) до места удара мол­нии можно приближённо вы­чис­лить по фор­му­ле s = 330t, где t — ко­ли­че­ство секунд, про­шед­ших между вспыш­кой молнии и уда­ром грома. Определите, на каком рас­сто­я­нии от места удара мол­нии находится наблюдатель, если t = 10 с. Ответ дайте в километрах, округ­лив его до целых.

6. Из фор­му­лы цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния a = ω²R най­ди­те R (в метрах), если ω = 4 с⁻¹ и a = 64 м/с².

Часть 2

Алгебраические выражения

1. Сократите дробь   . 2. Разложите на множители: .

3. Сократите дробь  4. Упростите вы­ра­же­ние

5. Один из кор­ней урав­не­ния    равен 1. Най­ди­те вто­рой корень.

6. Упростите выражение:   . 7. Упростите выражение:   .

8. Упростите выражение:    .

9. Упростите выражение: 14. Упростите вы­раж­ение

10. Найдите зна­че­ние выражения:     при  

11. Сократите дробь:    17. Со­кра­ти­те дробь 

12. Какое из чисел больше:  или  ?

13. Сократите дробь , если .

15. Сократите дробь  16. Со­кра­ти­те дробь 

18. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  при   

19. Найдите зна­че­ние выражения  если 

20. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  если 

21. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  если 

22. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

23. Сократите дробь  24. Сократите дробь 

25. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  если 

Задачи на проценты, сплавы и смеси

1. Смешав 60%−ый и 30%−ый рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20%−ый рас­твор кислоты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90%−го рас­тво­ра той же кислоты, то по­лу­чи­ли бы 70%−ый рас­твор кислоты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60%−го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Решение. Пусть х кг и у кг — массы пер­во­го и вто­ро­го растворов, взя­тые при смешивании. Тогда х+у +5  кг — масса по­лу­чен­но­го раствора, со­дер­жа­ще­го 0,6х + 0,3у кг кислоты. Кон­цен­тра­ция кис­ло­ты в по­лу­чен­ном рас­тво­ре 20 %, откуда 0,6х + 0,3у = 0,2 (х+у+5)

0,6х +0,3у +5*0,9 = 0,7 (х+у+5)

Решим си­сте­му двух по­лу­чен­ных уравнений:

  Ответ: 2 кг.

2. Име­ет­ся два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем меди: в пер­вом со­дер­жит­ся 60%, а во вто­ром — 45% меди. В каком от­но­ше­нии надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы, чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий 55% меди?

Пусть пер­вый сплав взят в ко­ли­че­стве x кг, тогда он будет со­дер­жать 0,6x кг меди, а вто­рой сплав взят в ко­ли­че­стве y кг, тогда он будет со­дер­жать 0,45y кг меди. Со­еди­нив два этих спла­ва, по­лу­чим сплав меди мас­сой x + y, по усло­вию за­да­чи он дол­жен со­дер­жать 0,55(x + y) меди. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние: 0,6х + 0,45 у = 0,55(х+у)

Выразим x через y: х = 2у. Следовательно, отношение, в ко­то­ром нужно взять сплавы: 2 : 1

3. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 20%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

Пусть пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве х грамм, тогда он со­дер­жит 0,2х грамм чи­стой кислоты, а вто­рой рас­твор взят в ко­ли­че­стве у грамм, тогда он со­дер­жит 0,5у грамм чи­стой кислоты. При сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой 0,2х + 0,5у грамм, по усло­вию задачи, он со­дер­жит 0,3(х + у) чи­стой кислоты. Следовательно, можно со­ста­вить уравнение: 0,2х + 0,5у  = 0,3(х + у)

Выразим x через y: 0,1х = 0,2у. х = 2у Следовательно, отношение, в ко­то­ром нужно взять сплавы: 2 : 1

4. На пост главы ад­ми­ни­стра­ции го­ро­да пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Жу­равлёв, Зай­цев, Ива­нов. Во время вы­бо­ров за Ива­но­ва было от­да­но в 2 раза боль­ше го­ло­сов, чем за Жу­равлёва, а за Зай­це­ва — в 3 раза боль­ше, чем за Жу­равлёва и Ива­но­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

5. Первый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го сплава.

6. Све­жие фрук­ты со­дер­жат 80% воды, а вы­су­шен­ные — 28%. Сколь­ко сухих фрук­тов по­лу­чит­ся из 288 кг све­жих фрук­тов?

7. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 12-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

8. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

9. Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

10. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

11. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

12. Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

13. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 83% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

14. Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

15. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

16. Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

17. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 95-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

18. Све­жие фрук­ты со­дер­жат 93% воды, а вы­су­шен­ные — 16%. Сколь­ко сухих фрук­тов по­лу­чит­ся из 252 кг све­жих фрук­тов?