Задания с решениями для проведения олимпиады по математике (ВТОРОЙ ТУР)

Задание 1. (7 баллов)

Содержание ↑

Замок Персиваля имел квадратную форму. Однажды Персиваль решил расширить свои владения и добавил к замку квадратную пристройку. В результате периметр замка увеличился на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь замка?

Ответ: 4%.

Решение. Пусть ширина замка равна a, а ширина пристройки — b. Тогда первоначальный периметр равен 4a, а итоговый периметр равен 4a + 2b.

Тогда:

1,1 · 4a = 4a + 2b ⇔ b = 0,2a .

Отсюда площадь замка стала равна a² +(0,2a)² = 1,04a², то есть площадь увеличилась на 4%.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Верно найдена сторона пристройки, однако дальнейшее решение отсутствует или неверно: 4 балла.

Приведён только верный ответ: 0 баллов.

Задание 2. (7 баллов)

Содержание ↑

Известно, что a² + b = b² + c = c² + a. Какие значения может принимать выражение a(a² — b²) + b(b² — c²) + c(c² — a²)?

Ответ: 0.

Решение. Заметим, что равенство a² + b = b² + c можно записать в виде:

a²—b² = c—b. Аналогично имеем b²—c² = a—c, c²—a² = b—a. Подставляя эти равенства в искомые выражения, получаем, что

a(a² — b²) + b(b² — c²) + c(c² — a²) = a(c — b) + b(a — c) + c(b — a) = 0 .

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Приведён только верный ответ: 0 баллов.

Задание 3. (7 баллов)

Содержание ↑

На доске в произвольном порядке выписаны числа от 1 до 2017. Два числа можно поменять местами, если одно из них делится на другое. Докажите, что за несколько таких операций числа можно расположить в порядке возрастания.

Решение. Покажем, как поставить число k ≠ 1 на k-ое место. Пусть на k-ом месте стоит число n. Поменяем сначала n с 1, затем поменяем k с 1. Тогда k действительно окажется на своём месте.

Последовательно ставя на свои места числа 2017, 2016, . . . , мы поставим все числа в порядке возрастания.

Критерии. Любой верный алгоритм действий: 7 баллов.

На примере маленького количества чисел (например, для трёх или четырёх) показано, как расставить числа в порядке возрастания: 0 баллов.

Содержание ↑

Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо черные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 12 подряд идущих — не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?

Ответ: 15 мудрецов.

Решение. Докажем, что больше 15 мудрецов быть не может. Предположим противное, пусть мудрецов хотя бы 16. Последовательно занумеруем всех мудрецов. Рассмотрим девять подряд идущих мудрецов. Если к ним добавить одного из двух соседних мудрецов, то среди них будет одинаковое число мудрецов с белыми и чёрными колпаками, поэтому на любых мудрецах, между которыми находится 9 мудрецов, надеты колпаки одинакового цвета.

Без ограничения общности, на первом мудреце надет чёрный колпак. Тогда на одиннадцатом мудреце также чёрный колпак. Если на двенадцатом мудреце надет белый колпак, то среди первых двенадцати мудрецов будет поровну белых и чёрных колпаков. Поэтому на двенадцатом мудреце надет чёрный колпак, откуда и на втором мудреце надет чёрный колпак. Аналогично рассмотрев мудрецов со второго по одиннадцатого, получим что на мудрецах 3 и 13 надеты колпаки чёрного цвета. Рассмотрев мудрецов с третьего по двенадцатого, получим, что на мудрецах 4 и 14 надеты колпаки чёрного цвета. Аналогично на мудрецах 5 и 15, 6 и 16 надеты колпаки чёрного цвета. Но тогда среди первых десяти мудрецов на первых шести чёрные колпаки, поэтому чёрных колпаков будет больше. Противоречие.

15 мудрецов может быть: пусть на первых 5 и последних 5 мудрецах надеты чёрные колпаки, а на оставшихся 5 надеты белые колпаки. Несложно понять, что тогда условие задачи будет выполнено.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Доказано, что больше 15 мудрецов не может быть, но не приведён пример, как надеть колпаки на 15 мудрецов: 6 баллов.

Доказано, что на двух мудрецах, между которыми стоят 9 мудрецов, надеты колпаки одинакового цвета, однако дальнейшее рассуждение отсутствует или неверно: 2 балла.

Приведён пример расстановки 15 мудрецов, удовлетворяющей условию, но не доказано, что больше мудрецов поставить нельзя: 1 балл.

Приведён только верный ответ: 0 баллов.

Задание 5. (5 баллов)

Буратино зарыл на Поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на нем – две монеты: серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять выросло дерево ... . Каждый раз на дереве вырастали две монеты: либо две золотые, либо золотая и серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было 2010 серебряные монеты. Сколько монет закопал Буратино?

Ответ: 2009.

Решение

Назовем монету, из которой что-то выросло – «родителем», а монету, которая выросла из какой-нибудь монеты – «ребенком». Заметим, что «детьми» являются все монеты, кроме первой, а каждая золотая монета (и только она) является «родителем». Поскольку у каждого «родителя» – два «ребенка», то «детей» – в два раза больше, чем «родителей».

Пусть x – количество золотых монет, а y – количество серебряных, тогда всего монет будет x + y, из которых «детьми» являются (x + y) – 1 монет, а «родителями» – x. Составляем уравнение: (x + y) – 1 = 2x  x = y – 1, то есть, количество золотых монет меньше количества серебряных на 1, следовательно, Буратино закопал 2009 монет.

Задание 6. (5 баллов)

На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

Ответ. 1000.

Решение

Всего было отправлено 2000000 приглашений, а пар на сайте 20001999/2 = 1999000. Приглашений на 1000 больше, чем пар, поэтому внутри хотя бы 1000 пар было отправлено два приглашения. Значит, образовалось хотя бы 1000 пар друзей. Ровно 1000 возможна: расставим всех людей на сайте по кругу, и пусть каждый пригласит 1000 следующих за ним по часовой стрелке. Тогда друзьями окажутся только то, кто расположен строго напротив друг друга.

Задание 7. (4 балла)

Решите систему уравнений

Ответ: (3; 0,6), (-4; 4,8).

Решение

Пусть ,

Задание 8. (3 балла)

Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХ^А=БАХ.

Ответ: 25²=625.

Задание 9. (4 балла)

В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

Ответ: 9 щук.

Решение

Разобьем процесс съедения щук по этапам. На первом этапе 7 щук съедают 21 щуку и еще остается 2. На втором этапе щук всего 9 из них 2 голодных. Эти две съедают 6 щук. На третьем этапе щук всего 3, их недостаточно для того, чтобы накормить даже одну щуку.