Задания школьной олимпиады по математике для 8 класса

Текст школьной олимпиады в 8 классах

Задача 1.

Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство стало верным: 1-2-4-8-16=19.

Решение.

||1-2|-|4-8|-16|=19

Задача 2.

Постройте график функции:

Решение.

Значит, графиком данной функции является прямая y = x ( биссектриса I и III координатных четвертей ) с двумя выколотыми точками ( 1; 1 ), ( -1; -1 ).

Задача 3.

В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

Решение.

Пусть такого класса в школе нет, т.е. во всех классах будет 33 и менее учащихся. Тогда во всей школе будет не более 33·30=990 учащихся, что противоречит условию задачи (в школе 1000 учащихся). Значит, наше предположение неверно, поэтому в школе есть класс, в котором не менее 34 учеников.

Задача 4.

Найдите значения a и b, при которых равенство выполняется при всех допустимых значениях переменной x.

Решение.

Приведем в правой части равенства дроби к общему знаменателю и учитывая. Так как знаменатели у дробей в левой и правой частях равны, получим:

5х+31=ах+2а+вх – 5х

5х+31=(а+в)х+(2а – 5в )

Откуда имеем:

Ответ: при а = 8, в = – 3 .

Задача 5.

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x² - y² = 69.

Решение.

Разложим левую часть равенства на множители, а число 96 представим в виде произведения:

96 = 1∙ 96 = 96 ∙1 = 2 ∙ 23 = 23∙2. Учитывая, что х у, имеем:

Ответ: (35;34), (13;10).