Задание 1 (презентация по типам задач к ЕГЭ)

ЕГЭ - 2016

Изменения в КИМ 2016 года по сравнению с КИМ 2015 года

Модель КИМ 2016 г. по сравнению с КИМ 2015 г. изменилась незначительно.

Была изменена последовательность предъявления заданий 1 – 5.

1  5; 2  2; 3  4; 4  1; 5  3

Количество заданий и максимальный первичный балл остались без изменений.

Знания о системах счисления и двоичном представлении информации

в памяти компьютера

ege 1

(базовый уровень – 1 мин)

Что нужно знать:

• перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления

• отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде

• для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:

• перевести число a-1 в двоичную систему счисления сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки
• перевести число a-1 в двоичную систему счисления
• сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки

Полезно помнить , что в двоичной системе:

• четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1;

• числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2 k , оканчиваются на k нулей;

• если число N принадлежит интервалу 2 k-1  N k , то в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125 :

2 6 = 64  125 125 = 1111101 2 (7 цифр)

• числа вида 2 k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например:

16 = 2 4 = 10000 2

• числа вида 2 k -1 записываются в двоичной системе k единиц, например:

15 = 2 4 -1 = 1111 2 , 120 = 1111000 2

• если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2*N можно легко получить, приписав в конец 0, например: 15 = 1111 2 , 30 = 11110 2 , 60 = 111100 2 , 120 = 1111000 2

Пример I.

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 519?

Решение:

проще всего представить заданное число в виде суммы степеней числа 2:

519 = 512 + 7 = 2 9 + 4 + 3 = 2 9 + 2 2 + 2 + 1 = 2 9 + 2 2 + 2 1 + 2 0

количество единиц в двоичной записи числа равно количеству слагаемых в таком разложении

Ответ: 4

Пример II.

Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 6 единиц . Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.

1) 63 10 * 4 10 2) F8 16 + 1 10 3) 333 8 4) 11100111 2

Решение:

1 вариант

Нужно перевести все заданные числа в двоичную систему, подсчитать число единиц и выбрать наибольшее из чисел, в которых ровно 6 единиц ;

• переведем оба сомножителя в двоичную систему:

63­ 10 = 111111­ 2 4 10 = 100­ 2

в первом числе ровно 6 единиц, умножение на второе добавляет в конец два нуля:

63­ 10 * 4 10 = 111111­ 2 * 100­ 2 = 111111­00 2, то есть в этом числе 6 единиц

Пример II.

2 вариант

• воспользуемся связью между шестнадцатеричной и двоичной системами счисления:

каждую цифру шестнадцатеричного числа можно переводить отдельно в тетраду (4 двоичных цифры):

F­ 16 = 1111­ 2 8 16 = 100­0 2 F8 16 = 1111 1000 2

• после добавления единицы F8 16 + 1 = 1111 1001 2 также получаем число, содержащее ровно 6 единиц , но оно меньше, чем число в первом варианте ответа

3 вариант

• используем связь между восьмеричной и двоичной системами:

каждую цифру восьмеричного числа переводим отдельно в триаду (группу из трёх) двоичных цифр: 333 8 = 011 011 011­ 2 = 11011011 2

• это число тоже содержит 6 единиц, но меньше, чем число в первом варианте ответа последнее число 11100111 2 уже записано в двоичной системе, оно тоже содержит ровно 6 единиц , но меньше первого числа

таким образом , все 4 числа, указанные в вариантах ответов содержат ровно 6 единиц , но наибольшее из них – первое

Ответ: 1.

Пример III.

Сколько единиц в двоичной записи числа 1025 ?

1) 1 2) 2 3) 10 4) 11

Решение ( вариант 1 , прямой перевод):

Частное

делитель

1025

512

2

остаток

2

1

256

0

2

128

2

64

0

2

32

0

2

0

16

2

8

0

2

4

0

0

2

2

2

1

0

0

• переводим число 1025 в двоичную систему: 1025 =

10000000001­ 2

• считаем единицы, их две

Ответ: 2

Возможные проблемы:

легко запутаться при переводе больших чисел.

Пример III.

Решение ( вариант 2 , разложение на сумму степеней двойки):

• тут очень полезно знать наизусть таблицу степеней двойки,

где 1024 = 2 10 и 1 = 2 0

• таким образом, 1025 = 1024 + 1 = 2 10 + 2 0
• вспоминая, как переводится число из двоичной системы в десятичную (значение каждой цифры умножается на 2 в степени, равной её разряду), понимаем, что в двоичной записи числа ровно столько единиц, сколько в приведенной сумме различных степеней двойки, то есть, 2

Ответ: 2

Возможные проблемы:

нужно помнить таблицу степеней двойки.

Когда удобно использовать:

• когда число чуть больше какой-то степени двойки

Пример IV.

Дано:

и

Какое из чисел с , записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a ?

1) 11011001 2 2) 11011100 2 3) 11010111 2 4) 11011000 2

Общий подход:

перевести все числа (и исходные данные, и ответы) в одну (любую!) систему счисления и сравнить.

Решение ( вариант 1 , через десятичную систему):

• переводим в десятичную систему все ответы:

11011001 2 = 217,

11011100 2 = 220,

11010111 2 = 215,

11011000 2 = 216

• очевидно, что между числами 215 и 217 может быть только 216

таким образом, верный ответ – 4

Возможные проблемы :

арифметические ошибки при переводе из других систем в десятичную.

Решение ( вариант 2 , через двоичную систему):

(каждая цифра шестнадцатеричной системы отдельно переводится в четыре двоичных – тетраду );

(каждая цифра восьмеричной системы отдельно переводится в три двоичных – триаду , старшие нули можно не писать);

теперь нужно сообразить, что между этими числами находится только двоичное число 11011000 2 – это ответ 4.

Возможные проблемы :

запись двоичных чисел однородна, содержит много одинаковых символов – нулей и единиц, поэтому легко запутаться и сделать ошибку.

Решение ( вариант 3 , через восьмеричную систему):

(сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на триады справа налево , каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной);

переводить не нужно;

• переводим в восьмеричную систему все ответы:

11011001 2 = 011 011 001 2 = 331 8 (разбили на триады справа налево , каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, как в п. 1)

11011100 2 = 334 8 , 11010111 2 = 327 8 , 11011000 2 =330 8

• в восьмеричной системе между числами 327 8 и 331 8 может быть только 330 8

таким образом, верный ответ – 4 .

Возможные проблемы :

нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 7 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).

Решение ( вариант 4 , через шестнадцатеричную систему):

переводить не нужно;

(сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево , каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);

переводим в шестнадцатеричную систему все ответы:

11011001 2 = 1101 1001 2 = D9 16 (разбили на тетрады справа налево , каждую тетраду перевели отдельно в десятичную систему, все числа, большие 9, заменили на буквы – A, B, C, D, E, F, как в п. 1)

11011100 2 = DC 16 , 11010111 2 = D7 16 , 11011000 2 =D8 16

• в шестнадцатеричной системе между числами D7 16 и D9 16 может быть только D8 16

Возможные проблемы :

нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 15 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).

Пример V.

Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-78) ?

1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

Решение ( вариант 1 , классический):

• переводим число 78 в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 1001110 2

• по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит , поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
• чтобы получилось всего 8 разрядов ( бит ), добавляем впереди один ноль: 78 = 01001110 2
• делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

01001110 2 → 10110001 2

• добавляем к результату единицу

10110001 2 + 1 = 10110010 2 это и есть число (-78) в двоичном дополнительном коде

• в записи этого числа 4 единицы

• таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы :

нужно не забыть в конце добавить единицу, причем это может быть не так тривиально, если будут переносы в следующий разряд – тут тоже есть шанс ошибиться из-за невнимательности

Решение ( вариант 2 , неклассический):

• переводим число 78 – 1=77 в двоичную систему счисления:

77 = 64 + 8 + 4 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 0 = 1001101 2

• по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов

• чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль: 77 = 01001101 2

• делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

01001101 2 → 10110010 2

• это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде
• в записи этого числа 4 единицы

таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы :

нужно помнить, что в этом способе в двоичную систему переводится не число a , а число a-1 ;

именно этот прием позволяет избежать добавления единицы в конце (легче вычесть в десятичной системе, чем добавить в двоичной)

Решение ( вариант 3 , неклассический):

• переводим число 78 в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 1001110 2

• по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов; чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль: 78 = 01001110 2
• для всех битов, которые стоят слева от младшей единицы , делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

010011 10 2 → 101100 10 2

• это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде
• в записи этого числа 4 единицы

Возможные ловушки и проблемы :

нужно помнить, что при инверсии младшая единица и все нули после нее не меняются