Задание № 10 на ЕГЭ

Задание №10 на ЕГЭ.

Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: I = U/R, где U – напряжение (в вольтах), R — сопротивление электроприбора (в омах). В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 11 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 В, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

 Решение:

Чтобы найти минимальное сопротивление у электроприбора, необходимо рассчитать его при максимальной силе тока, т. е. при I = 11 А.

Из закона Ома выразим R:

R = U/I

R =220/11 = 20

Ответ:  20

Задание.

Автомобиль разгоняется с места с постоянным ускорением a = 0,2 м/с² и через некоторое время достигает скорости v = 10 м/с. Какое расстояние к этому моменту прошел автомобиль? Ответ выразите в метрах. Скорость v, пройденный путь l, время разгона t и ускорение a связаны соотношениями

 

Решение:

Выразим пройденный путь через скорость и ускорение:

Ответ:  50

Задание.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности I, оперативности S, объективности публикаций T, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 0 до 4. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций – вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

 

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.

Решение:

Так как все оценки должны быть равны и рейтинг должен совпадать с этой оценкой,

то значения I = S = T = Q = R.

Найдем значение А:

R·А = 7R

А = 7

Ответ: 7

Задание.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 45 см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может меняться в пределах от 50 до 70 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана – в пределах от 160 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 1/d₁ + 1/d₂ = 1/f. Укажите, на каком расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Для того, чтобы изображение на экране было четким, должно выполняться условие

Выразим из этого соотношения d₁:

Рассчитаем расстояние d₁ от линзы до лампочки при значениях d₂ от линзы до экрана 240 и 280 см:

Наименьшее расстояние d₁ от линзы до лампочки будет равно 60

Ответ: 60

Задание.

Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: I = U/R, где U – напряжение (в вольтах), R — сопротивление электроприбора (в омах). В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 5 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 В, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Решение:

Чтобы найти минимальное сопротивление у электроприбора, необходимо рассчитать его при максимальной силе тока, т. е. при I = 5 А.

Из закона Ома выразим R:

R = U/I

R =220/5 = 44

Ответ: 44

Задание.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности I, оперативности S, объективности публикаций T, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 0 до 4. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций – вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

 

Каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило рейтинг 100?

Решение:

Так как все оценки должны быть наибольшими, то значения I = S = T = Q = 4.

Найдем значение А при R = 100:

100А = 28

А = 0,28

Ответ: 0,28

Задание.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

,

где m₀ – начальная масса изотопа, t (мин.) – прошедшее от начального момента время, T (мин.) – период полураспада. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальной момент времени  m₀ = 80 мг изотопа Z, период полураспада которого T = 2 мин. Через какое время после начала распада масса изотопа станет меньше 5 мг?

 Решение:

Для нахождения времени, когда масса изотопа станет меньше 5 мг, решим неравенство:

Следовательно, через 8 мин после начала распада масса изотопа станет меньше 5 мг.

Ответ: 8

Задание.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k = const, где p – давление в газе в паскалях, V – объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него k = 5/3) из начального состояния, в котором const = 2·10² Па·м⁵, газ начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 6,25·10⁵ Па? Ответ выразите в кубических метрах.

Решение:

Выразим из формулы pV^k = const давление p:

Давление газа должно быть не ниже 6,25·10⁵ Па, т.е. p ≥ 6,25·10⁵, получим неравенство

Возведем обе части неравенства в степень 3/5, получим

Следовательно, наибольший объем V, который может занимать газ при давлениях p не ниже 6,25·10⁵  Па, равен 0,008 м³.

Ответ: 0,008

Задание.

Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой

(1),

где v₀ = 26 м/с – начальная скорость мячика, а g – ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 7,45 м на расстоянии 1 м?

Решение:

Выразим из формулы (1) косинус:

По условию мяч должен пролететь над стеной высотой 7,45 м на расстоянии 1 м, т. е. H = 7,45 + 1 = 8,45, подставим числовые данные и найдем значение косинуса:

cos2α = 1/2

2α = 60^˚

α = 30^˚

Ответ: 30

Задание.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 35 см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может меняться в пределах от 35 до 60 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана – в пределах от 240 до 280 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 1/d₁ + 1/d₂ = 1/f. Укажите, на каком расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Для того, чтобы изображение на экране было четким, должно выполняться условие

Выразим из этого соотношения d₁:

Рассчитаем расстояние d₁ от линзы до лампочки при значениях d₂ от линзы до экрана 240 и 280 см:

Наименьшее расстояние d₁ от линзы до лампочки будет равно 40

Ответ: 40

Задание.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T₀ + bt + αt², где t – время в минутах, T₀ = 1600 К, α = – 5 К/мин², b = 105 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Решение:

По условию задачи T₀ = 1600 К, α = – 5 К/мин², b = 105 К/мин, T(t) = 1870 К.

Подставим числовые значения в формулу T(t) = T₀ + bt + αt², получим

1870 = 1600 + 105t – 5t²

5t² – 105t + 270 = 0

D = 225

t₁ = 3   и   t₂ = 18

Следовательно,  t = 3 мин – это наибольшее время после начала работы, когда нужно отключить прибор, так как превышение этого времени приведет к его поломку. А второй раз через 18 мин прибор не сможет сломаться.

Ответ: 3

Задание.

При температуре 0 ^˚С рельс имеет длину l₀ = 15 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t^˚) = l₀(1 + αt^˚), где α = 1,2·10^-5 (^˚С)^-1 – коэффициент теплового расширения, t^˚ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение:

Первоначальная длина рельса l₀ = 15 м, при возрастании температуры рельс удлиняется на 9 мм, т. е. на 0,009 м. Тогда длина рельса при тепловом расширении будет равна l(t^˚) = l₀ + 0,009 = 10,009 м.

Подставим числовые значения в формулу l(t^˚) = l₀(1 + αt^˚), получим

15,009 = 15·(1 + 1,2·10^-5 t^˚ )

15 + 18·10^-5·t^˚ = 15,009

18·10^-5·t^˚ = 0,009

0,00018·t^˚ = 0,009

t^˚ = 0,009 : 0,00018

t^˚ = 50

Ответ: 50

Задание.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T₀ + bt + αt², где t – время в минутах, T₀ = 1450 К, α = – 12,5 К/мин², b = 175 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

 Решение:

По условию задачи T₀ = 1450 К, α = – 12,5 К/мин², b = 175 К/мин, T(t) = 1750 К.

Подставим числовые значения в формулу T(t) = T₀ + bt + αt², получим

1750 = 1450 + 175t – 12,5t²

12,5t² – 175t + 300 = 0

D = 15625

t₁ = 2   и   t₂ = 12

Следовательно,  t = 2 мин – это наибольшее время после начала работы, когда нужно отключить прибор, так как превышение этого времени приведет к его поломку. А второй раз через 12 мин прибор не сможет сломаться.

Ответ: 2

Задание.

При температуре 0^˚С рельс имеет длину l₀ = 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t^˚) = l₀(1 + αt^˚), где α = 1,2·10^-5 (^˚С)^-1 – коэффициент теплового расширения, t^˚ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение:

Первоначальная длина рельса l₀ = 10 м, при возрастании температуры рельс удлиняется на 9 мм, т. е. на 0,009 м.

Тогда длина рельса при тепловом расширении будет равна l(t^˚) = l₀ + 0,009 = 10,009 м.

Подставим числовые значения в формулу l(t^˚) = l₀(1 + αt^˚), получим

10,009 = 10·(1 + 1,2·10^-5 t^˚ )

10 + 1,2·10^-4·t^˚ = 10,009

1,2·10^-4·t^˚ = 0,009

0,00012·t^˚ = 0,009

t^˚ = 0,009 : 0,00012

t^˚ = 75

Ответ: 75

Задание.

Рейтинговое агентство вычисляет рейтинг интернет-магазинов по формуле

,

где r_пок – средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), r_экс – оценка магазина экспертами компании (от 0 до 0,7) и K – число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Альфа», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 24, их средняя оценка равна 0,38, а оценка экспертов 0,13.

 Решение:

По условию K = 24; r_пок = 0,38; r_экс = 0,13.

Подставим числовые значения в формулу рейтинга:

Ответ: 0,37

Задание.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k = const, где p – давление в газе в паскалях, V – объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него k = 4/3) из начального состояния, в котором const = 3,2·10⁶ Па·м⁴, газ начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 2·10⁵ Па? Ответ выразите в кубических метрах.

Решение:

Выразим из формулы pV^k = const давление p:

Давление газа должно быть не ниже 2·10⁵ Па, т.е. p ≥ 2·10⁵, получим неравенство

Возведем обе части неравенства в степень 3/4, получим

Следовательно, наибольший объем V, который может занимать газ при давлениях p не ниже 2·10⁵  Па, равен 8 м³.

Ответ: 8

Задание.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

  ,

где m₀ – начальная масса изотопа, t (мин.) – прошедшее от начального момента время, T (мин.) – период полураспада. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальной момент времени  m₀ = 4 мг изотопа Z, период полураспада которого T = 2 мин. Через какое время после начала распада масса изотопа станет меньше 1 мг?

Решение:

Для нахождения времени, когда масса изотопа станет меньше 1 мг, решим неравенство:

Следовательно, через 4 мин после начала распада масса изотопа станет меньше 1 мг.

Ответ: 4

Задание.

Самые красивые мосты – вантовые. Вертикальные пилоны связаны огромной провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. На рисунке изображена схема одного вантового моста. Введем систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат цепь моста имеет уравнение y = 0,0056x² – 0,672x + 24, где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 100 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Решение:

Длина ванты, расположенной в 100 метрах от пилоны будет равна значению y = 0,0056x² – 0,672x + 24 при x = 100.

Найдем это значение, подставив в данное уравнение значение x = 100, получим

y = 0,0056·100² – 0,672·100 + 24 = 56 – 67,2 + 24 = 12,8

Ответ: 12,8

Задание.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле

   (1),

где R = 6400 км – радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 16 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 28 км?

Решение:

Выразим из формулы (1) высоту h, для этого возведем обе части в квадрат:

Найдем значение высоты h₁ при расстоянии до горизонта l = 16 км:

Найдем значение высоты h₂ при расстоянии до горизонта l = 28 км:

Следовательно, чтобы расстояние до горизонта увеличилось с 16 км до 28 км, человеку нужно подняться на высоту

h = h₂ – h₁ = 61,25 – 20 = 41,25 м

Ответ: 41,25

Задание.

Самые красивые мосты – вантовые. Вертикальные пилоны связаны огромной провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. На рисунке изображена схема одного вантового моста. Введем систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат цепь моста имеет уравнение y = 0,0061x² – 0,854x + 33, где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 100 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Решение:

Длина ванты, расположенной в 100 метрах от пилоны будет равна значению y = 0,0061x² – 0,854x + 33 при x = 100.

Найдем это значение, подставив в данное уравнение значение x = 100, получим

y = 0,0061·100² – 0,854·100 + 33 = 61 – 85,4 + 33 = 8,6

Ответ: 8,6

Задание.

Зависимость объема спроса q (единица в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q = 170 – 10p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = pq. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит 520 тыс. руб. Ответ дайте в тысячах рублях.

Решение:

В равенство r(p) = pq подставим значение q = 170 – 10p, получим

r(p) = p·(170 – 10p)

Так как выручка предприятия за месяц составила r(p) = 520 тыс. руб., получим уравнение

p·(170 – 10p) = 520

Преобразуем и решим уравнение:

10p² – 170p + 520 = 0

p² – 17p + 52 = 0

D = 81

p₁ = 13  и   p₂ = 4

Наибольшая цена равна 13 тыс. руб.

Ответ: 13

Задание.

Зависимость объема спроса q (единица в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q = 14 – 10p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = pq. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит 400 тыс. руб. Ответ дайте в тысячах рублях.

Решение:

В равенство r(p) = pq подставим значение q = 14 – 10p, получим

r(p) = p·(14 – 10p)

Так как выручка предприятия за месяц составила r(p) = 400 тыс. руб., получим уравнение

p·(14 – 10p) = 400

Преобразуем и решим уравнение:

10p² – 140p + 400 = 0

p² – 14p + 40 = 0

D = 36

p₁ = 10  и   p₂ = 4

Наибольшая цена равна 10 тыс. руб.

Ответ: 10

Задание.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 499 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле

где с = 1500 м/с – скорость звука в воде,  f₀ – частота испускаемых импульсов (в МГц),  f – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала  f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 3 м/с. Ответ выразите в МГц.

Решение:

Так как скорость батискафа не должна превышать 3 м/с, то получим неравенство, подставив числовые значения:

500·(f – 499) ≤ f + 499

500f – 500·499 ≤ f + 499

500f – f ≤ 500·499 + 499

499f ≤ 499·(500 + 1)

f ≤ 501

Следовательно, наибольшая возможная частота отраженного сигнала равна 501 МГц.

Ответ: 501

P.s.: задачи на нахождение наибольшей возможной частоты отраженного сигнала локатора батискафа можно решить быстрее,

f  = f₀ + 2 = 499 + 2 = 501 МГц.

Можно выполнить проверку

Задание.

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 2 + 13t – 5t², где h – высота в метрах,  t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 10 метров?

Решение:

Мяч будет находиться на высоте 10 метров и более, начиная с момента времени t₁ (см. рисунок), когда он достигнет при броске 10 метров, и, заканчивая моментом t₂ (см. рисунок), когда он опустится снова до 10 метров. Т. е. t = t₂ – t₁.

Найдем значения t₁ и t₂, для этого в формулу h(t) = 2 + 13t – 5t²  вместо h(t) подставим значение 10, получим:

10 = 2 + 13t – 5t² 

5t² - 13t + 8 = 0

Решим квадратное уравнение, дискриминант равен

D = 9,

t₁ = 1,  t₂ = 1,6.

t = t₂ – t₁ = 1,6 — 1 = 0,6.

Ответ: 0,6

Задание.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле

 ,

где с = 1500 м/с – скорость звука в воде,  f₀ – частота испускаемых импульсов (в МГц),  f – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала  f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 5 м/с. Ответ выразите в МГц.

Решение:

Так как скорость батискафа не должна превышать 5 м/с, то получим неравенство, подставив числовые значения:

300·(f – 299) ≤ f + 299

300f – 300·299 ≤ f + 299

300f – f ≤ 300·299 + 299

299f ≤ 299·(300 + 1)

f ≤ 301

Следовательно, наибольшая возможная частота отраженного сигнала равна 301 МГц.

Ответ: 301

P.s.: задачи на нахождение наибольшей возможной частоты отраженного сигнала локатора батискафа можно решить быстрее,

f  = f₀ + 2 = 299 + 2 = 301 МГц.

Можно выполнить проверку

Задание.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связаны соотношением p₁V₁^1,4 = p₂V₂^1,4, p₁ и p₂ – давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях соответственно, V₁ и V₂ – объем газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях соответственно. Изначально объем газа равен 294,4 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объема нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Решение:

p₁V₁^1,4 = p₂V₂^1,4

1·294,4^1,4 = 128·V₂^1,4

1·294,4^7/5 = 128·V₂^7/5

1·294,4^7/5 = 2⁷·V₂^7/5

Возведем обе части равенства в степень 5/7, получим

(1·294,4^7/5)^5/7 = (2⁷·V₂^7/5)^5/7

294,4 = 2⁵· V₂

V₂ = 294,4/2⁵

V₂ = 294,4/32

V₂ = 9,2

Ответ: 9,2

Задание.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне T_n = 25 ⁰C, через радиатор пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры T_В = 57 ⁰C до температуры T, причем x = α·cm/γ·log₂(T_В — T_n)/( T — T_n), где c = 4200 Вт·с/кг·⁰С – теплоемкость воды, γ = 63 Вт/м·⁰С – коэффициент теплообмена, α = 1,4 – постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 56 м.

Решение:

Из формулы

выразим log₂(T_В - T_n)/( T - T_n), получим

По определению логарифма получим:

T_B – T_n = 4T — T_n

T = (T_B +3T_n)/4

T = (57 + 3·25)/4 = 33

Ответ: 33

Задание.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени ν = 2,5 моля воздуха при давлении p₁ = 1,25 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатее воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле A = ανTlog₂(p₁/p₂), где α = 13,3 Дж/моль·К — постоянная, а T = 300К – температура воздуха. Найдите, какое давление p₂ (в атм.) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 19 950 Дж.

Решение:

Из формулы

выразим log₂(p₁/p₂), получим

По определению логарифма получим:

p₂ = 4p₁

p₂ = 4 · 1,25 = 5

Ответ: 5

Задание.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может меняться в пределах от 25 до 50 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана – в пределах от 90 до 120 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 1/d₁ + 1/d₂ = 1/f. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Для того, чтобы изображение на экране было четким, должно выполняться условие

Выразим из этого соотношения d₁:

Рассчитаем расстояние d₁ от линзы до лампочки при значениях d₂ от линзы до экрана 90 и 120 см:

Наименьшее расстояние d₁ от линзы до лампочки будет равно 40

Ответ: 40

Задание.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени ν = 2 моля воздуха объемом V₁ = 10л, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатее воздуха до конечного объема V₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле A = ανTlog₂(V₁/V₂), где α = 13,3 Дж/моль·К — постоянная, а T = 300К – температура воздуха. Найдите, какой объем V₂ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15 960 Дж.

Решение:

Из формулы

выразим log₂(V₁/V₂), получим

По определению логарифма получим:

V₂ = V₁/4

V₂ = 10/4 = 2,5

Ответ: 2,5

Задание. 

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 2 + 26t – 5t², где h – высота в метрах,  t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 7 метров?

Решение:

Мяч будет находиться на высоте 7 метров и более, начиная с момента времени t₁ (см. рисунок), когда он достигнет при броске 7 метров, и, заканчивая моментом t₂ (см. рисунок), когда он опустится снова до 7 метров. Т. е. t = t₂ – t₁.

Найдем значения t₁ и t₂, для этого в формулу h(t) = 2 + 26t – 5t²  вместо h(t) подставим значение 7, получим:

7 = 2 + 26t – 5t² 

5t² - 26t + 5 = 0

Решим квадратное уравнение, дискриминант равен 169, тогда  t₁ = 0,2,  t₂ = 5.

t = t₂ – t₁ = 5 — 0,2 = 4,8.

Ответ: 4,8

Задание. 

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 2 + 17t – 5t², где h – высота в метрах,  t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 8 метров?

Решение:

Мяч будет находиться на высоте 8 метров и более, начиная с момента времени t₁ (см. рисунок), когда он достигнет при броске 8 метров, и, заканчивая моментом t₂ (см. рисунок), когда он опустится снова до 8 метров. Т. е. t = t₂ – t₁.

Найдем значения t₁ и t₂, для этого в формулу h(t) = 2 + 17t – 5t²  вместо h(t) подставим значение 8, получим:

8 = 2 + 17t – 5t² 

5t² - 17t + 6 = 0

Решим квадратное уравнение, дискриминант равен 169, тогда  t₁ = 0,4,  t₂ = 3.

t = t₂ – t₁ = 3 — 0,4 = 2,6.

Ответ: 2,6

Задание. 

Груз массой 0,6 кг колеблется на пружине. Его скорость v (в м/с) меняется по закону v=v₀cos(2πt/T), где t – время с момента начала колебаний в секундах, T= 4 с – период колебаний, v₀ = 3 м/с. Кинетическая энергия Е (в Дж) груза вычисляется по формуле E = mv²/2, где m – масса груза (в кг), v – скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 120 с после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение:

Найдем значение скорости:

v=v₀cos(2πt/T)= 3·cos(2π·120/4) = 3·cos(60π) = 3·1 = 3

Найдем кинетическую энергию груза:

E = mv²/2 = (0,6·(3)^2)/2 = 2,7

Ответ: 2,7

Задание. 

Груз массой 0,14 кг колеблется на пружине. Его скорость v (в м/с) меняется по закону v=v₀sin(2πt/T), где t – время с момента начала колебаний в секундах, T= 6 с – период колебаний, v₀ = 2 м/с. Кинетическая энергия Е (в Дж) груза вычисляется по формуле E = mv²/2, где m – масса груза (в кг), v – скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 11 с после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение:

Найдем значение скорости:

v=v₀sin(2πt/T) = 2·sin(2π·11/6) = 2·sin(11π/3) = 2·(-√3/2) = - √3

Найдем кинетическую энергию груза:

E = mv²/2 = (0,14·(-√3)^2)/2 = 0,21

Ответ: 0,21

Задание. 

Груз массой 0,26 кг колеблется на пружине. Его скорость v (в м/с) меняется по закону v=v₀sin(2πt/T), где t – время с момента начала колебаний в секундах, T= 12 с – период колебаний, v₀ = 4 м/с. Кинетическая энергия Е (в Дж) груза вычисляется по формуле E = mv²/2, где m – масса груза (в кг), v – скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 5 с после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение:

Найдем значение скорости:

v=v₀sin(2πt/T) = 4·sin(2π·5/12) = 4·sin(5π/6) = 4·(1/2) = 2

Найдем кинетическую энергию груза:

E = mv²/2 = (0,26·(2)^2)/2 = 0,52

Ответ: 0,52

ЗАДАЧА

 

  При температуре   рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону  , где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 4,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

 

Решение:

 

 

 

 

После удлинения при определенной температуре (которую нужно найти) длина рельсы стала .

 

Подставим в формулу  и получим:

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 25

При температуре 0^∘C рельс имеет длину l₀=12,5 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t^∘)=l₀(1+α⋅t^∘), где α=1,2⋅10⁻⁵(^∘C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t^∘ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

РЕШЕНИЕ:

6мм = 6 ∙ 10^-3

Длина рельса l₀(1+α⋅t^∘) =12,5(1+1,2⋅10⁻⁵⋅t^∘) = 12,5м + 6мм

12,5(1+1,2⋅10⁻⁵⋅t^∘) = 12,5+ 6 ∙ 10^-3

12,5 + 15⋅10⁻⁵⋅t^∘ = 12,5 + 6 ∙ 10^-3

15⋅10⁻⁵⋅t^∘ = 6 ∙ 10^-3

t^∘ = 6 ∙ 10^-3
____15⋅10⁻⁵

t^∘ = 600 ∙ 10^-5
____15⋅10⁻⁵

t^∘ = 600 
____15

t^∘ = 40

Ответ: 40

При температуре 0^∘C рельс имеет длину l₀=20 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t^∘)=l₀(1+α⋅t^∘), где α=1,2⋅10⁻⁵(^∘C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t^∘ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

РЕШЕНИЕ:

9мм = 9 ∙ 10^-3

Длина рельса l₀(1+α⋅t^∘) =20(1+1,2⋅10⁻⁵⋅t^∘) = 20м + 9мм

20(1+1,2⋅10⁻⁵⋅t^∘) = 20+ 9 ∙ 10^-3

20 + 24⋅10⁻⁵⋅t^∘ = 20 + 9 ∙ 10^-3

24⋅10⁻⁵⋅t^∘ = 9 ∙ 10^-3

t^∘ = 9 ∙ 10^-3
____24⋅10⁻⁵

t^∘ = 900 ∙ 10^-5
____24⋅10⁻⁵

t^∘ = 900 
____24

t^∘ = 37,5

Ответ: 37,5