Задание № 12 на ЕГЭ по математике

Задание № 12 на ЕГЭ.

Найдите точку минимума функции

Решение:

Точка минимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Область определения функции: все числа.

Найдем производную функции:

y´ = 0

x² — 484= 0

x₁ = — 22

x₂ = 22

Отметим точки – 22 и 22 на числовой прямой и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке x = 22 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума.

Ответ: 22

Задание.

Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 3)² – 2x на отрезке [-2,5; 0]

Решение:

Найдем точку экстремума функции, для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена при x + 3 0, x  — 3.

Упростим данную функцию:

y = 2ln(x + 3) – 2x

Найдем производную функции:

Найдем нули производной:

y′ = 0

-2x – 4  = 0

x = — 2 принадлежит отрезу [-2,5; 0]

Отметим точки — 2,5; — 2 и 0 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке х = — 2  производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума на отрезке [-2,5; 0]. Найдем значение функции при x = — 2.

y(-2) = ln(-2 + 3)² — 2·(-2) = ln1 + 4 = 4

Ответ: 4 

Задание.

Найдите наибольшее значение функции

Решение:

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = 0

- 4 – x  = 0

x = — 4

Получили единственную точку экстремума x = — 4, значение функции в данной точке будет наибольшим, найдем это значение:

Наибольшее значение функции равно 2.

Ответ: 2

Задание.

Найдите точку минимума функции y = (6 – 4x)cosx + 4sinx + 6, принадлежащую промежутку (0; π/2).

Решение:

Точка минимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Область определения функции: все числа, кроме 0.

Найдем производную функции:

y´ = (6 – 4x)´·cosx + (6 – 4x)·(cosx)´ + (4sinx)´

y´ = — 4cosx – (6 – 4x)sinx + 4cosx = – (6 – 4x)sinx

y´ = – (6 – 4x)sinx

y´ = 0

– (6 – 4x)sinx = 0

(6 – 4x)sinx

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

6 – 4x = 0    и    sinx = 0

Решим 1 уравнение:

6 – 4x = 0

x = 3/2

x = 1,5

Решим 2 уравнение:

sinx = 0

x = 0 не принадлежит промежутку (0; π/2)

Отметим точку x = 1,5 на числовой прямой, учитывая промежуток (0; π/2) и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке x = 1,5 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума.

Ответ: 1,5

Задание.

Найдите наибольшее значение функции y = x³ — 6x² + 9x + 5 на отрезке [0,5; 2].

Решение:

Функция определена на всей числовой прямой.

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = 3x² — 12x + 9

y´ = 0

3x² — 12x + 9 = 0

x² — 4x + 3 = 0

D = 4

x₁ = 3 не принадлежит отрезку [0,5; 2]

x₂ = 1

Найдем значение функции в точке x = 1 и на границах отрезка [0,5; 2]:

y(0,5) = (0,5)³ — 6·(0,5)² + 9·(0,5) + 5 = 8,125

y(1) = 1³ — 6·1² + 9·1 + 5 = 9

y(2) = 2³ — 6·2² + 9·2 + 5 = 7

Значит, набольшее значение функции равно 7

Ответ: 7

Задание.

Найдите наибольшее значение функции y = 13tgx – 13x + 5 на отрезке [-π/4; 0].

Решение:

Функция определена на промежутке (-π/2 + πn; π/2 + πn)

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = 0

cos²x = 1

cosx = — 1   и    cosx = 1

Решим 1 уравнение:

cosx = — 1

x = π не принадлежит отрезку [-π/4; 0].

Решим 2 уравнение:

cosx = 1

x = 0

Найдем значение функции в точке x = 0 и на границах отрезка [-π/4; 0]:

y(-π/4) = 13tg(-π/4) – 13·(-π/4) + 5 = 13π/4 — 8

y(0) = 13tg0 – 13·0 + 5 = 5

Значит, наибольшее значение функции равно 5

Ответ: 5

Задание.

Найдите наибольшее значение функции y = 11 + 24x – 2x√x на отрезке [63; 65].

Решение:

Функция определена на всей числовой прямой.

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = 24 — 3√x

y´ = 0

24 — 3√x = 0

√x = 8

x = 64

Найдем значение функции в точке x = 64 и на границах отрезка [63; 65]:

y(63) = 11 + 24·63 — 2·63·√63 ≈ 522,9

y(64) = 11 + 24·64 — 2·64·√64 = 523

y(65) = 11 + 24·65 — 2·65·√65 ≈ 522,9

Значит, наибольшее значение функции равно 523

Ответ: 523

Задание.

Найдите точку минимума функции

Решение:

Точка минимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена на всей числовой прямой.

Найдем производную функции:

y´ = 4 – x²

y´ = 0

4 – x² = 0

x₁ = — 2,   x₂ = 2

Отметим точки – 2 и 2 на числовой прямой и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке x = — 2 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума.

Ответ: — 2 

Задание.

Найдите наименьшее значение функции f(x) = e^2x – 4e^x + 7 на отрезке [-1; 1].

Решение:

Область определения функции: все числа

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

f^´(x) = 2e^2x – 4e^x

f^´(x) = 0

2e^2x – 4e^x = 0

2e^x(e^x – 2) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

 e^x  0,   e^x – 2 = 0

e^x – 2 = 0

e^x = 2

x = ln2

Найдем значение функции в точке x = ln2 и на границах отрезка [-1; 1].

f(-1) = e^-2 – 4e^-1 + 7

f(ln2) = e^2ln2 – 4e^ln2 + 7 = 4 – 8 + 7 = 3

f(1) = e² – 4e + 7

Значит, наименьшее значение функции равно 3

Ответ: 3

Задание.

Найдите наименьшее значение функции y = (x – 10)²(x + 1) + 3 на отрезке [5; 14].

Решение:

Область определения функции: все числа

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = ((x – 10)²)´· (x + 1) + (x – 10)²·(x + 1)´ = 2(x – 10)· (x + 1) + (x – 10)²·1

y´ =(x – 10)·(2x + 2 + x – 10) = (x – 10)·(3x – 8)

y´ = 0

(x – 10)·(3x – 8) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

x – 10 = 0  и   3x – 8 = 0

Решим 1 уравнение:

x – 10 = 0

x = 10

Решим 2 уравнение:

3x – 8 = 0

3x = 8

x = 8/3 не принадлежит отрезку [5; 14].

Найдем значение функции в точке x = 10 и на границах отрезка [5; 14].

y(5) = (5 – 10)²·(5 + 1) + 3 = 153

y(10) = (10 – 10)²·(10 + 1) + 3 = 3

y(14) = (14 – 10)²·(14 + 1) + 3 = 243

Значит, наименьшее значение функции равно 3

Ответ: 3

Задание.

Найдите наибольшее значение функции

 на отрезке [-28; -2].

Решение:

Область определения функции: все числа, кроме 0.

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = 0

x² – 400 = 0

x₁ = — 20

x₂ = 20 не принадлежит отрезку [-28; -2].

Найдем значение функции в точке x = — 20 и на границах отрезка [-28; -2].

Значит, наибольшее значение функции равно: – 40

Ответ: - 40

Задание.

Найдите наименьшее значение функции y = (x – 22)e^x-21  на отрезке [20; 22].

Решение:

Область определения функции: все числа

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = e^x-21 + (x – 22)e^x-21 = e^x-21(1 + x – 22) = e^x-21(x – 21)

y´ = 0

e^x-21(x – 21) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

e^x-21 0,

x – 21 = 0

x = 21 ϵ [20; 22].

Найдем значение функции в точке x = 21 и на границах отрезка [20; 22]:

y(20) =(20 – 22)·e^20-21 = — 2·e^-2

y(21) =(21 – 22)·e^21-21 = — 1

y(22) =(22 – 22)·e^22-21 = 0

Значит, наименьшее значение функции равно: — 1.

Ответ: - 1

Задание.

Найдите наименьшее значение функции

 на отрезке [9; 36].

Решение:

Область определения функции [0; ∞)

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y´ = √x – 6

Найдем нули производной:

y′ = 0

√x – 6 = 0

x = 36 ϵ [9; 36]

Найдем значение функции в точке x = 36 и на границах отрезка [9; 36]:

y(x) = 2/3·9·√9 — 6·9 – 5 = — 41

y(x) = 2/3·36·√36 — 6·36 – 5 = — 77

Значит, наименьшее значение функции равно – 77

Ответ: - 77

Задание. 

Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 5)⁴ – 4x на отрезке [-4,5; 0]

Решение:

Найдем точку экстремума функции, для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена при x + 5 0, x  — 5.

Упростим данную функцию:

y = 4ln(x + 5) – 4x

Найдем производную функции:

Найдем нули производной:

y′ = 0

- 4x – 16  = 0

- 4x = 16

x = — 4  принадлежит отрезу [-4,5; 0]

Отметим точки — 4,5; — 4 и 0 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке х = — 4  производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума на отрезке [-4,5; 0]. Найдем значение функции при x = — 4.

y(-4) = ln(-4 + 5)⁴ — 4·(-4) = ln1 + 16 = 16

Наибольшее значение функции можно находить другим способом, для этого нужно вычислить значения функции в точке х = — 4 и в граничных точках отрезка, имеем:

y(-4,5) = ln(-4,5 + 5)⁴ — 4·(-4,5) = 4ln(0,5) + 18 ≈ 14

y(0) = ln(0 + 5)⁴ — 4·0 = 4ln5 ≈ 8

y(-4) = ln(-4 + 5)⁴ — 4·(-4) = ln1 + 16 = 16

Ответ: 16 

Задание. 

Найдите точку максимума функции

y = (x – 5)²·e^{x – 7} 

Решение:

Точка максимума функции — это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена при x 0.

Найдем производную заданной функции:

y′ = 2(x – 5)·e^{x – 7} + (x – 5)²·e^{x– 7} 

Найдем нули производной:

y′ = 0

2(x – 5)·e^{x – 7} + (x – 5)²·e^{x– 7} = 0

 e^{x – 7}·(2x – 10 + x² – 10x + 25) = 0

 x² – 8x + 15 = 0

 x₁ = 3   и   x₂ = 5

Отметим точки 3 и 5 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке х = 3  производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 3 

Задание. 

Найдите точку максимума функции

y = 1,5x² – 39x + 120·lnx – 2.

Решение:

Точка максимума функции — это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена при x 0.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

y′ = 0

3x² – 39x + 120 = 0

x² – 13x + 40 = 0

x₁ = 5   и   x₂ = 8

Отметим точки 5 и 8 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке х = 5  производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 5 

Задание. 

Найдите точку максимума функции y = — x/(x² + 484)

Решение:

Точка максимума функции — это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена на всей числовой прямой.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

y′ = 0

x² – 484 = 0

x₁ = — 22;    x₂ = 22

Отметим точки — 22 и 22 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке х = — 22  производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: — 22 

Задание. 

Найдите точку максимума функции y = -x/(x² + 361)

Решение:

Точка максимума функции — это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена на всей числовой прямой.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

y′ = 0

x² – 361 = 0

x₁ = — 19;    x₂ = 19

Отметим точки — 19 и 19 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке х = — 19  производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: — 19