Задание 16 ЕГЭ-2015. Расстояния.

Задание 16 ЕГЭ-2015

Иванова Е.Н.

МБОУ СОШ №8 г. Каменск-Шахтинский

1. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 D 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AE равностороннего треугольника AB 1 D 1 . Имеем, AB 1 = AD 1 = B 1 D 1 = .

Следовательно, AE =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

2

2. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до прям ой BD 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AE прямоугольного треугольника ABD 1 . Имеем, AB = 1, AD 1 = , BD 1 = .

Следовательно, AE = .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

3. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от вершины A до прямой SC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Треугольник SAC прямоугольный. Искомое расстояние равно катету SA и равно 1.

Ответ: 1.

4. В правильной пирамиде SABCD , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите расстояние от точки A до прямой SD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте AH равностороннего треугольника SAD. Оно равно

Ответ:

5. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника AB 1 C 1 . Имеем,

B 1 C 1 = 1; AB 1 = AC 1 = .

Следовательно, AD =

Ответ:

6. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BC 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AD равнобедренного треугольника ABC 1 . Имеем,

AB = 1; AC 1 = BC 1 = .

Следовательно, AD =

Ответ:

7. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой D 1 E 1 .

Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE 1 . В прямоугольном треугольнике AEE 1 имеем: EE 1 = 1, AE = . Следовательно, AE 1 = 2.

Ответ: 2.

8. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой B 1 C 1 .

Решение: Достроим призму, присоединив к ней правильную треугольную призму ABGA 1 B 1 G 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка AH 1 , где H 1 – середина ребра B 1 G 1 . В прямоугольном треугольнике AHH 1 имеем: HH 1 = 1, AH = Следовательно, AH 1 =

Ответ:

9. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прям ой BE 1 .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ABE 1 , в котором AB = 1, AE 1 = 2, BE 1 =

Из подобия треугольников ABE 1 и BHA находим AH =

Ответ:

10. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

10

11. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть P , Q – середины AA 1 , BD 1 . Искомым расстоянием является длина отрезка PQ . Она равна

Ответ:

12. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BC 1 .

Решение. Искомое р асстояние равно расстоянию между параллельными плоскостями AB 1 D 1 и BDC 1 . Диагональ A 1 C перпендикулярна этим плоскостям и делится в точках пересечения на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка EF и равно

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

13. В правильном тетраэдре ABCD н айдите расстояние между прямыми AD и BC .

Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF , где E , F – середины ребер AD , GF . В треугольнике DAG DA = 1,

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

AG = DG = Следовательно, EF =

Ответ:

14. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SAO , где O – середина BD . В прямоугольном треугольнике SAO

имеем: SA = 1, AO = SO = Следовательно, OH =

Ответ:

15. В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние между прямыми SA и BC .

Решение. Плоскость SAD параллельна прямой BC . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию между прямой BC и плоскостью SAD . Оно равно высоте EH треугольника SEF , где E , F – середины ребер BC , AD . В треугольнике SEF имеем:

EF = 1, SE = SF = Высота SO равна

Следовательно, EH =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

16. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Ответ:

17. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C .

Решение: Искомое расстояние равно расстоянию между прямой AB и плоскостью A 1 B 1 C . Обозначим D и D 1 середины ребер AB и A 1 B 1 . В прямоугольном треугольнике CDD 1 из вершины D проведем высоту DE. Она и будет искомым расстоянием.

Имеем, DD 1 = 1, CD = , CD 1 = .

Следовательно, DE =

Ответ:

18. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и C 1 D 1 .

Ответ: 1.

19. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и C 1 D 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1 . Его длина равна .

Ответ: .

20. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1 .

Решение: Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G . Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром. Его длина равна .

Ответ: .

21. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CE 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CEE 1 . Оно равно .

Ответ: .

22. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CD 1 .

Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок AC . Его длина равна .

Ответ: .

23. В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Решение: Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1 . Оно равно .

Ответ: .