Задание 2 (презентация по типам задач к ЕГЭ)

ege2

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

базовый уровень, время – 3 мин

Тип I – V, VIII, XII

Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

x1

x2

x3

1

0

x4

x5

x6

0

x7

1

x8

F

1

0

1

1

1

Каким выражением может быть F ?

1) x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

• x1  x2  x3  ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

3) ¬x1  x2  ¬x3  x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

4) x1  ¬x2  x3  ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

Решение:

Ответ: 2

x1

x2

1

0

x3

x4

x5

0

x6

1

x7

x8

1

F

0

1

1

1

Тип VI

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

x 1

x 2

1

1

x 3

1

1

1

0

x 4

0

x 5

0

0

0

F

1

1

1

1

1

0

1

1

Одно из приведенных ниже выражений истинно при любых значениях переменных x1, x2,x3, x4, x5. Укажите это выражение.

A

0

B

А  B

0

0

1

1

1

0

1

1) F(x1,x2,x3,x4,x5)  x1

2) F(x1,x2,x3,x4,x5)  x2

3) F(x1,x2,x3,x4,x5)  x3

4) F(x1,x2,x3,x4,x5)  x4

1

1

0

1

ответ: 3

Тип VII, XI

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

z1  ¬z2  ¬z3  ¬z4  z5. Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно ?

1). 1 2). 2 3). 31 4). 32

Решение:

• задано выражение с пятью переменными, которые могут принимать 2 5 = 32 различных комбинаций значений

• операция  – это логическое умножение, поэтому заданное выражение истинно только тогда, когда все сомножители истинны, то есть в одном единственном случае

• тогда остается 32 – 1 = 31 вариант, когда выражение ложно

ответ: 3

Тип IX, X

2)

3)

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

4)

X

1

Y

Z

0

0

F

0

0

1

1

0

1

1

0

0

Какое выражение соответствует F?

• ¬X  ¬Y  ¬Z
• X  Y  Z
• X  ¬Y  ¬Z
• X  ¬Y  ¬Z

Решение:

• перепишем ответы в других обозначениях:

1) 2) 3) 4)

ответ: 3.

Тип XIII

Каждое из логических выражений F и G содержит 6 переменных.

В таблицах истинности выражений F и G есть ровно 10 одинаковых строк, причем ровно в 5 из них в столбце значений стоит 1 .

Сколько строк таблицы истинности для выражения F  G содержит 1 в столбце значений?

Решение

1) В каждом из логических выражений имеется 6 переменных, следовательно, для каждого выражения возможно 2 6 = 64 различных набора значений переменных.

2) В таблицах истинности выражений есть 10 одинаковых строк (когда обе функции имеют значение 1 или значение 0). Значит, строк, в которых значения функций не совпадают, будет 6 4 – 10 = 54 .

3) Выражение F  G равно 1 , если хотя бы одно из значений ( F или G ) равно единице, и равно нулю тогда и только тогда, когда оба значения (и F , и G ) равны нулю. Cреди одинаковых строк в таблицах истинности F и G есть ровно 5 строк, в которых значения равны 1. Значит, таких строк, где и для F , и для G значения равны нулю, будет 10 – 5 = 5 (штук).

Решение

4) Итак , имеем:

• 54 строки, в которых значения F и G различны (одно равно 0, другое равно 1), т.е. значение выражения F  G равно 1;
• 5 строк, в которых значения F и G одинаковы и равны 1, т.е. значение выражения F  G также равно 1;
• 5 строк, в которых значения F и G одинаковы и равны 0, т.е. значение выражения F  G равно 0.

Условиям задачи соответствует, таким образом, 54 + 5 = 59 строк.

Ответ: 59

Тип XIV

Логическая функция F задаётся выражением (¬z)/\x \/ x/\y . Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут

соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая 1-му

столбцу; затем – буква, соответствующая 2-му столбцу; затем – буква,

соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких

разделителей между буквами ставить не нужно.

Перем. 1

Перем. 2

???

Перем. 3

0

???

Функция

0

???

0

0

0

0

F

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

(¬z)/\x \/ x/\y=z*x+x*y=x*(z+y)

Перем. 1

???

Перем. 2

0

Перем. 3

???

Функция

0

0

???

F

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

z

x

y

y

x

z

x

y

z

z

y

x

x*y*z

x*y*z

x*y*z

(x*y + y)*z=

x*y*z

x*y*z=

F=x*y*z +

x*y*z

+ (x+x)*y*z=

x*y*z +

+*y*z=

z

y

x

=(x + y)*z