"Загадки чистого листа" (о листе Мёбиуса)

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

средняя общеобразовательная школа №2 с. Красноусольский

МР Гафурийский район Республики Башкортостан

Внеклассное мероприятие по математике

Разработала Рогачёва С.Н.,

учитель математики

с. Красноусольский

Главная цель мероприятия – пробуждение и развитие устойчивого познавательного интереса учащихся к предмету.

Задачи мероприятия:

• способствовать возникновению интереса у большинства учеников к предмету, привлечение некоторых из них в ряды “любителей математики”;

• повысить уровень математического мышления.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, компьютер, несколько ножниц, клей или широкий скотч, три полоски бумаги шириной 3 см, длиной 30-60см, две полоски шириной 3см, на которых через 1см проведены вдоль две линии (удобно эти полоски нарезать из альбома для рисования), две полоски шириной 2см длиной 20-30см (желательно из цветной бумаги для принтера)

Ход мероприятия:

Разделить участников мероприятия на группы, рассадить за столы, на каждом из которых будет набор из полосок бумаги, клей или скотч, ножницы. Напомнить правила работы с ножницами и клеем.

Я рада приветствовать всех здесь собравшихся. Сегодня мы вместе проведем час занимательной математики «Загадки чистого листа». (слайд2)

Коль в математику влюблен,

Иль, может в ней ты не силён,

Я верю, будешь удивлен,

И математикой сражен!

Сегодня всем придется поработать под моим руководством. Надеюсь на то, что знания, которые вы сегодня получите, пригодятся вам хотя бы для того, чтобы показать фокусы своим друзьям. У вас у всех на столах имеются полоски бумаги. Отложите в сторону те, на которых проведены две линии, опыты с ними мы проведем в последнюю очередь.

Итак, начинаем. Опыт 1. Возьмите полоску бумаги и склейте её в кольцо. На внутренней стороне листа возьмите точку и от неё проведите карандашом линию так, чтобы, не отрывая карандаша от бумаги вернуться в ту же точку. Разрежьте вдоль получившейся линии. Что получилось? (два кольца) Пока ничего интересного нет.

Опыт 2. Слайд3. Возьмите полоску бумаги и склейте её, но не так, как в первый раз, а перевернув её один раз.

На внутренней стороне листа возьмите точку и от неё проведите карандашом линию так, чтобы, не отрывая карандаша от бумаги вернуться в ту же точку.

Теперь внимательно рассмотрите эту полоску бумаги. Что увидели? (что линия, проведенная карандашом, окажется и на той и на другой стороне листа, но мы ведь не отрывали карандаша от бумаги). То, что мы сделали, называется лентой или листом или петлей Мёбиуса. Это – топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное Евклидово пространство. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Опыт 3. На кольце, которое осталось от первого опыта. Возьмите точку на одной стороне листа, а вторую на другой стороне. Попробуйте попасть из одной точки в другую, не пересекая края. И у вас этого не получится.

Опыт 4. Проделайте то же самое с листом Мёбиуса. Это возможно. Вот в чем заключается односторонность листа

Слайд 4. Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).

А́вгуст Фе́рдинанд Мёбиус (нем.August Ferdinand Möbius, 17 ноября1790, Шульпфорте, ныне Саксония-Анхальт — 26 сентября1868, Лейпциг) — немецкий математик и астроном-теоретик.

Родился на территории княжеской школы Шульпфорта, близ Наумбурга. Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера.

Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в гимназии-интернате Шульпфорта, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. Биографы предполагают, что в этом выборе сказалось влияние преподававшего там известного астронома и математика Моллвейде.

В 1813—1814 годахМёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по обеим наукам.

С 1816 года он также работал сначала астрономом-наблюдателем, затем директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории (близ Лейпцига). Деятельно участвовал в перестройке и оснащении обсерватории.

Мёбиус впервые ввёл однородные координаты и аналитические методы исследования в проективной геометрии. Получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, позднее названного его именем, исследовал коррелятивные преобразования.

Мёбиус опубликовал также двухтомное «Руководство по статике» (1837) и выдающуюся по оригинальности, глубине и богатству математических идей книгу «Барицентрическое исчисление» (1827), где вводятся барицентрические координаты точек плоскости. Обе эти книги фактически тоже относятся к проективной геометрии и её приложениям.

Он впервые рассмотрел пространственные алгебраические кривые третьего порядка и изучил их свойства.

В теории чисел именем Мёбиуса названы функция μ(n) и формула обращения.

В 1840 году, задолго до широко известной проблемы четырёх красок, Мёбиус сформулировал похожую задачу: можно ли разделить страну на пять частей так, чтобы каждая часть имела ненулевую границу со всеми остальными? Легко показать, что это невозможно. Из других топологических достижений следует упомянуть, что он ввёл понятие уникурсальной кривой, то есть графа, который можно начертить не отрывая пера от бумаги (другое название: эйлеров граф).

1848: Мёбиус становится директором обсерватории.

В области астрономии Мёбиус опубликовал несколько значительных работ по небесной механике, о принципах астрономии и о планетных затмениях

Статья о знаменитой ленте Мёбиуса была опубликована посмертно.

В честь учёного назван астероид 28516 (Möbius).

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой извеcтной серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка«Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле.Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонскоеметро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра ГуставоМоскера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Философский трактат Кирилла Мозгалевского«Путешествие в Пандемониум или Наваждение 13-го» написан в виде ленты Мёбиуса — произведение начинается и заканчивается одинаковым отрывком, а примерно в середине повествования этот же отрывок перекручивается. Именно по ленте Мёбиуса главный герой попадает в потусторонний мир.

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «ОбладиОблада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью. В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Продолжим наши опыты. Опыт 5. Подумайте, что получится, если мы разрежем эту ленту вдоль? Разрежьте лист Мёбиуса по той линии, что у вас получилась. (кольцо вдвое большей длины и вдвое меньшей ширины)

Опыт 6. Теперь попробуем, что получиться, если ленту перевернуть не один раз, а два раза. Односторонняя ли? Нет. А что получится, если разрежем вдоль? (Два соединенных кольца.)

Опыт 7. Лента, где проведены две линии. Её скрутим два раза и по пунктирным линиям разрежем. Что получилось?( три кольца попарно соединенных)

Опыт 8. Лента, где проведены две линии. Из неё сделаем лист Мёбиуса и разрежем по линиям, будьте очень внимательны, сумеете ли вы, так же, как и с карандашом разрезать ленту, не отрывая ножниц от бумаги? Получим два сцепленных кольца, одно из которых в два раза длиннее другого.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. Слайд7

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса (см. символ бесконечности).

Существует также версия, что в качестве знака бесконечности используется символическое изображение ленты Мёбиуса, поскольку она отражает диалектическую модель Вселенной, заключающуюся в единстве и двойственности бытия.

И последний самый интересный опыт: Лист Мёбиуса может быть двух направлений, все зависит от того, как вы будете склеивать. Сейчас из цветной бумаги сделаем разноориентированные листы Мёбиуса: при склеивании верхнюю часть полоски держим в правой руке, первый раз этот верхний край поверните на себя и склейте, а второй раз верхний край поверните от себя. Теперь нужно склеить местами склеивания, расположить полоски друг над другом под прямым углом, и разрежьте вдоль, как разрезали и раньше (получиться два сцепленных сердечка) Одно сердце –это моё, второе – ваше, я вам дарю свое сердце.

Итак, на сегодня наши опыты закончены. Узнали ли Вы что-нибудь новое для себя? Было ли Вам интересно? А были ли удивлены? Что я обещала в начале занятия? Напишите несколько слов о ваших впечатлениях от занятия на лепестках ( по несколько штук лежат на столах). Я склею ромашку на память о сегодняшнем дне. Большое спасибо за внимание.

Литература:

1. Журнал «Квант» №1 1979год, №9,1988

2. Акимова С. Занимательная математика – Санкт –Петербург «Тригон», 1997

3. https://ru.wikipedia.org/wikiЛента Мёбиуса

4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Мёбиус