Замечательные точки

Четыре замечательные точки треугольника

медианы

серединные перпендикуляры

биссектрисы

высоты

Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла

Теорема1 . Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла

равноудалена от его сторон.

В

Дано: ВАС, АХ – биссектриса,

М є АХ, МЕ АВ, МК АС

Х

Е

М

Доказать: МЕ = МК

С

К

А

Теорема 2 ( обратная). Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла –

множество точек плоскости,

равноудалённых от сторон этого угла.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку

равноудалена от его концов.

Р

Дано: АВ – отрезок,

РК – серединный перпендикуляр,

М є РК

М

Доказать: МА = МВ

В

А

К

Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на

серединном перпендикуляре к нему.

Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку –

множество точек плоскости,

равноудалённых от его концов.

Первая замечательная точка треугольника

Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В

Дано: АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы,

О - точка их пересечения

Р

М

Е

О

У

Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ

С

Доказательство:

Т

К

А

АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК АС,

значит, ОМ = ОК

ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР ВС, значит, ОМ = О P

Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно,

О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС.

Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника.

Вторая замечательная точка треугольника

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

пересекаются в одной точке.

В

Дано: АВС, k,n – серединные

перпендикуляры к сторонам

треугольника,

О – точка их пересечения

k

p

О

Доказать: р – серединный

перпендикуляр к ВС, О є р

Доказательство:

С

А

n

n – серединный перпендикуляр к АС и О є n , значит, ОА = ОС.

k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ.

Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном

перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р.

Значит, О – точка пересечения серединных перпендикуляров k, n, p.

Вторая замечательная точка треугольника (продолжение)

Ещё возможное расположение:

Третья замечательная точка треугольника

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке,

которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от

вершины.

(центр тяжести треугольника – центроид)

В

Дано: АВС, AM ,ВК,СР - медианы

Р

М

Доказать: АМ ВК СР = О

О

Доказательство проведено ранее:

задача 1 п. 62.

С

К

А

Четвёртая замечательная точка треугольника

Теорема. Высоты треугольника или их продолжения

пересекаются в одной точке ( ортоцентр).

В

В

А

К

Н

А

С

К

М

М

О

М

В

С

А

Н

С(К,Н,О)

О

Дано: АВС, АК, ВН, СМ - высоты

Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений.

Доказательство:

Через вершины В, А, С треугольника АВС

проведём ЕТ АС, ЕУ ВС, ТУ АВ.

В

Е

Т

Получим:

АСВЕ – параллелограмм, значит, АС = ВЕ

АСТВ – параллелограмм, значит, АС = ВТ

К

М

О

Следовательно, ВЕ = ВТ, т. е. В – середина ЕТ.

С

А

Н

Т.к. ВН – высота АВС по условию, то ВН АС

Т. к. ЕТ АС по построению, значит, ВН ЕТ

Получим: ВН – серединный перпендикуляр к ЕТ.

Аналогично, СМ – серединный перпендикуляр к ТУ

и АК - серединный перпендикуляр к УЕ.

У

Т. е. ВН, СМ, АК – серединные перпендикуляры к сторонам ЕТУ,

которые по ранее доказанному пересекаются в одной точке,

значит, высоты АВС пересекаются в одной точке.

Задача № 680.

В

Дано: АВС, АМ = ВМ, М D AB,

AK = KC, DK AC, D є BC .

D

М

Доказать: D - середина ВС,

А = В + С.

1

2

С

А

Доказательство:

К

а)

D є BC по условию, значит, В D = AD

АМ = ВМ, М D AB,

BD = DC,

AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC

следовательно, D – середина ВС.

б) По доказанному

AD = DC , значит, треугольники АВ D

и

В D = AD

и АС D – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С.

ВАС = 1 + 2 = В + С, что и т. д.