7. Знакомство с обратными задачами. (КРОМЕ УРОКА НИЧЕГО НЕТ БОЛЕЕ МЕНЕЕ ПОДХОДИТ)
Цель урока: подготовить к введению понятия «обратная задача», закрепить умение решать задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц; повторить и закрепить ранее пройденный материал; развитие математического мышления.
Ход урока
1.Устный счет.
На доске можно расположить опорные схемы задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.
Саша поймал 5 окуней, а карасей - на 4 больше. Сколько карасей поймал Саша?
У рака 10 ног, а у пчелки - на 4 лапки меньше. Сколько лапок у пчелки?
У паука 8 ног, а у рака - на 2 больше. Сколько ног у рака?
В первом классе 8 человек занимаются музыкой, а во втором - на 2 человека больше. Сколько детей 2 класса занимается музыкой?
У Бауржана 9 марок, а у Азизы - на 3 марки меньше. Сколько марок у Азизы?
В первый день Дания прочитала 4 страницы, а во второй - на 3 страницы больше. Сколько страниц прочитала Дания во второй день?
Оле 4 года, Алие 3 года. А Наташе столько лет, сколько Оле и Алие вместе. Сколько лет Наташе?
У кошки 3 белых и столько же серых котят. Сколько всего котят у кошки?
На березе сидели 4 вороны. Прилетели еще 2. Сколько ворон стало на березе?
У Антона было 5 карамелек и столько же шоколадных конфет. Сколько всего конфет было у Антона?
На цветке сидели 2 пчелы. 1 пчела улетела. Сколько пчел осталось на цветке?
На пруду плавали 5 уток. 1 вышла из пруда. Сколько уток осталось? На лугу паслись 10 овец. 3 овцы загнали в сарай. Сколько овец осталось на лугу?
2.Актуализация опорных знаний.
Если число 6 на 2 больше числа 4, то число 4 на 2 меньше, чем число
Карточка с цифрой 4 - дети выкладывают на партах 4 треугольника. Далее учитель просит выложить кругов на 3 больше. После нескольких таких упражнений следует обратить внимание детей на то, что если кругов на 3 больше, то треугольников, соответственно, на 3 меньше.
3.Работа над новым материалом.
Задачи 1. Детям предлагается сравнить условия задач, решения и ответы. Эти задачи являются взаимосвязанными, в этих задачах говорится об одних и тех же предметах, только известное и неизвестное поменяли местами.
4.Работа над изученным материалом.
Самостоятельная работа Задание 2. При выполнении задания учитель объясняет детям, что на основе рисунков надо составить четверки примеров на сложение и вычитание. Это задание записывается в тетради и комментируется. Например, 5 домбр и 3 кобыза. Всего инструментов - 8. Если убрать кобызы (закрываем пальчиком), то останется 5 домбр и т. д.
Задание3. 3 - составление равенств и неравенств - имеет много вариантов решений и выполняется полностью или частично в тетради.
Самостоятельная работа. Задание 4 поможет закрепить таблицу вычитания.
5. Работа по методической теме.
Найди в каждой группе пару предметов и соедини их линией.
8. Знакомство с взаимообратными задачами. Система взаимообратных задач.
На мой взгляд, самое трудное в начальной школе – научить ребенка грамотно писать, а самое трудное в математике – научить решать задачи.
В процессе работы мне хотелось повысить процент способных детей и уменьшить процент слабых.
Кроме того, в своей работе я стремлюсь к тому, чтобы как можно больший процент детей имел качественный показатель знаний по математике. Далее я опишу, как я этого добиваюсь и каковы результаты молей работы.
Я ознакомилась с мнением различных ученых-методистов (смотреть список литературы) по вопросу классификации задач и решению взаимно обратных задач, как по традиционной, так и по развивающей методике.
Работа со взаимно обратными задачами просматривается у Аритской Н.И., у Свечникова А.А., но у Аритской И.И. нет четкой классификации задач, также, как у Истоминой Н.Б.
Классификация сложных задач в принципе сходна у Эрдниева П.М., Свечникова А.А., Баитовой М.А. но простые задачи Свечников А.А. и Баитова М.А. классифицируют несколько иначе, чем Эрдниев П.М.
За основу я взяла работу над задачами по Эрдниеву П.М., так как на сегодняшний день более четкой классификации задач и методики работы над взаимно обратными задачами я пока не вижу.
Следует отметить существенно важные дидактические достоинства метода обратных задач.
Во время преобразования задачи учащийся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами задачи:
Прямая задача | Ц. | К. | С. |
30 р. | 6 к. | ? р. |
Обратная задача | Ц. | К. | С. |
30 р. | ? к. | 180 р. |
Во время преобразования учащийся практически познает связи между действиями. Полезно, например, обратить внимание учащихся на то, что количество действий при решении прямой и обратной задач совпадает (это правило нарушается крайне редко). Кроме того, полезно знать учащимся следующее явление: каждому действию прямой задачи соответствует действие той же ступени в обратной задаче.
Количество комбинаций при составлении обратной задачи ограниченно: оно равно количеству данных в задаче.
Решая обратную задачу, учащийся перестраивает суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи, преодолевая при этом в мышлении инерцию действий, выполненных при решении прямой задачи.
Решение обратной задачи представляет проверку решения прямой задачи, то есть при этом возникают благоприятные условия для потоков информации по целям обратных связей в мыслительных процессах (систематическое сочетание прямых и обратных задач вырабатывает важное качество личности – чувство самоконтроля).
Учащиеся, составляя обратные задачи, знакомятся со значительно большим разнообразием задач, чем в традиционных задачниках.
При составлении и решении обратных задач выдвигается на первый план анализ и видоизменение математических зависимостей.
Итак, для развития мышления ценны не столько прямые и обратные задачи, взятые вне времени сами по себе, а наиболее важный познавательный элемент заключается в процессе преобразования одной задачи в другую, в сравнении условий, решений, ответов задач, то есть тех “невидимых”, трудно уловимых и трудно изобразимых при логическом анализе элементов мысли, которые связывают решения обеих задач (прямой и обратной).
Однако нельзя забывать, что переходы эти осуществляются во времени: чем меньше интервал времени между противоположными процессами решения взаимно обратных задач, тем быстрее и чаще будут совершаться эти переходы и тем прочнее будут сохраняться в памяти следы этих переходов, то есть тем более глубокими и основательными окажутся осваиваемые знания.
9. Методика работы над задачами, связанными с пропорциональными величинами: на нахождение четвертого пропорционального.
Методика работы над задачами на нахождение четвертого пропорционального.
1. Структура задач
-даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью;
-одна величина постоянная (ее значение не меняется), две-переменные;
-даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой;
-второе значение этой величины является искомым.
2.Классификация задач.
(См. табл. 1 на примере задач с величинами: цена, количество, стоимость)
3.Способы решения задач.
Каждую из задач, представленных в таблице, можно решить способом нахождения значения постоянной величины (названия способов детям не сообщается ). Вначальных классах преимущественно используется этот способ.
Например, рассмотрим решение задачи 1:
За два кг моркови уплатили 30 руб. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови?
Решение:
1) 30 : 2= 15 (руб.)-цена моркови.(значение постоянной)
2)15*6=90(руб.)
Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови.
Для задач 1 и 2 видов этот способ называется также способом приведения к единице.
С целью подготовки детей к усвоению в курсе основной школы( 5-9 кл.)функциональной зависимости необходимо познакомить младших школьников со способом решения, основанном на понятиях прямой и обратной пропорциональной зависимости.
Делая прикидку результата, выясняем, какое число получится в результате решения: больше или меньше какого-либо из данных чисел(за 6 кг уплатили больше или меньше, чем за 2кг?), уточняем почему, используя наглядные пособия, узнаем, что количество моркови увеличилось в 3 раза и, следовательно, денег потребуется также в 3 раза больше.
Решение:
1)6:2=3-в 3 раза стало моркови больше.
2)30*3=90(руб.)
Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови.
4.Организация подготовительной работы.
Для введения задач на нахождение четвертого пропорционального необходимо познакомить детей с величинамицена, количество, стоимость и связями между ними. Например, можно на уроке провести игру в «магазин»: На доске товары, к которым прикреплены этикетки с указанием цены
У: Сегодня будем играть в «магазин» и решать задачи про покупки.
Что продается в магазине? (Называют)
На вещах обозначена цена. Назовите цену тетради, блокнота, …
Что показывает цена?
Сколько стоит 1 тетрадь, 1 блокнот?
Купили 3 тетради. Что означает число 3? (Сколько купили тетрадей) Иначе говорят, число тетрадей иликоличество тетрадей.
Купили 4 блокнота. Что обозначает число 4?
К доске прикрепляют 4 блокнота, под каждым записана цена «10 руб.»
У: Сколько денег надо уплатить за 4 блокнота?(40 руб.) Как вы узнали?(10*4=40)
Почему умножали?
40руб.-это стоимость блокнота.
На доске запись:
Цена Количество Стоимость
10 руб. 4 блокнота ?
У: Что известно в этой задаче? Что нужно найти? Каким действием находили?
Далее начинается игра: один ученик становится продавцом, остальные покупателями. Покупатели покупают несколько вещей. Одновременно составляются и решаются задачи про эти покупки, причем каждый раз устанавливается связь: известны цена и количество, находим стоимость умножением.
Аналогично ведется работа по ознакомлению с величинами других групп. При этом на этапе ознакомления со связями между ними важно выполнять предметные иллюстрации (например, изобразить 3 пакета, под каждым написано «2 кг»), а при выборе арифметического действия сначала опираться на конкретный смысл арифметических действий (например, в 1-м пакете-2 кг муки, во 2-м -2 кг и в 3-м -2 кг; по 2 взяли 3 раза, надо 2 умножить на 3), после чего формулируется вывод (чтобы найти общую массу пакетов надо массу одного пакета умножить на их количество).
Одновременно с работой по закреплению знаний о связях между величинами следует наблюдать за изменением одной величины в зависимости от изменения другой при неизменной третьей Например, решаем ряд односюжетных задач: «Блокнот стоит 10 руб. Сколько будут стоить 2 блокнота, 3 блокнота, 4 блокнота, 12 блокнотов, 15 блокнотов?» Решение записываем в таблице:
Цена блокнота | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
Число блокнотов | 2 | 3 | 4 | 12 | 15 |
Стоимость блокнотов | 10 | 15 | 20 | 60 | 75 |
Прослеживая изменение величин, дети устанавливают: при увеличении числа блокнотов, их стоимость увеличивается, при уменьшении количества стоимость уменьшается.
Аналогично можно пронаблюдать и другие зависимости.
5.Ознакомление с решением задач.
Первыми рассматриваем задачи с величинами: цена, количество, стоимость, т. к. дети имеют больший опыт оперировать этими величинами, причем сначала включаем задачи 1-го вида (см. табл. 1).
Сначала задачи иллюстрируем рисунком и выполняем краткую запись в таблице:
Цена | Количество | Стоимость |
Одинаковая | 6 тетрадей 3 тетради | 12 руб. ? |
При анализе условия дети объясняют, что показывает каждое число, что требуется найти, что необходимо узнать, чтобы ответить на вопрос .
Проверка выполняется способом составления и решения обратных задач.
6.Закрепление умения решать задачи.
После решения нескольких задач 1-го вида с величинами цена, количество, стоимость вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются задачи других видов Выполняются упражнения творческого характера по сравнению нескольких задач одного вида, различных видов, по составлению задач.
10. Методика работы над задачами, связанными с пропорциональными величинами: на пропорциональное деление.
Методика работы над задачами на пропорциональное деление.
1.Структура задач
-даны две переменные величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью и одна постоянная;
-даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной;
-слагаемые этой суммы являются искомыми.
2.Классификация задач.
В начальной школе решаются задачи только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице 2
3.Способы решения задач.
В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины
4.Организация подготовительной работы.
Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.
5.Ознакомление с решением задач.
Начинаем работу с решения задачи на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связь между задачами этих видов, что позволит обобщить способы их решения.
Цена | Количество | Стоимость |
Одинаковая | 6 тетрадей 4 тетради | 18 руб. ? |
Предлагаем детям составить задачу по краткой записи:
После ее решения учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (12 руб.) Затем он предлагает найти стоимость всех тетрадей (30 руб.), и составить задачу по новому условию:
Цена | Количество | Стоимость |
Одинаковая | 6 тетрадей 4 тетради | ? 30 руб. ? |
Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: «Сколько уплатил первый покупатель?» и «Сколько уплатил второй покупатель?» учитель поясняет , что эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько денег уплатил каждый покупатель?» Задача формулируется в окончательном виде.
У: - Что требуется узнать в задаче?
-Что значит «каждый»?
- Можно ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик?
- Почему нельзя?
- Можно ли сразу узнать цену тетради?
-Почему нельзя?
-Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 руб.?
-Почему можно?
-Что узнаем первым действием; вторым; третьим; четвертым?
Далее решаются готовые задачи. При этом надо сначала расчленить вопрос задачи на два вопроса; выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и почему.
Затем переходят к составлению плана решения, ведя рассуждение от вопроса к числовым данным.
Проверка решения выполняется установлением соответствия между числами, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.
6.Закрепление умения решать задачи.
Для обобщения способа решения предлагаются задачи 1-го вида с другими группами величин, затем вводятся задачи 2-го вида и несколько позднее 3-го и 4-го видов.
Методика работы над задачами на нахождение неизвестных по двум разностям.
1.Структура задач
-даны две переменные и одна постоянная величина;
-даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной;
-сами значения этой переменной являются искомыми.
2.Классификация задач.
В начальной школе решаются задачи только двух видов. Эти задачи представлены в таблице 3.
3.Способы решения задач.
В начальных классах эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины
4.Организация подготовительной работы.
Подготовкой к решению задач этого типа предлагают задачи-вопросы и простые задачи, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями. Например:
1)Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них уплатил больше денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатит столько же денег, сколько уплатила сестра?
2)Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?
5.Ознакомление с решением задач.
Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала предлагается задача не в готовом виде, а составляется из задачи на нахождение четвертого пропорционального, затем включают готовые задачи.
Рассмотрим это на конкретном примере.
Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи:
Цена | Количество | Стоимость |
Одинаковая | I-6 м II-4 м | 180 руб. ? |
После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе,-120 руб.
Учитель предлагает найти разность стоимостей (60 руб.) Выясняется, что показывает это число. Учитель выполняет новую краткую запись, по которой дети составляют задачу:
Цена | Количество | Стоимость |
Одинаковая | I-6 м II-4 м | ?на 10 руб. больше ? |
На доске и в тетрадях можно выполнить иллюстрацию:
I
II
Выясняется, почему 1-й покупатель заплатил больше, чем 2-й; за сколько метров 1-й уплатил столько же денег, сколько 2-й; за какую материю он уплатил 10 руб.
На чертеже появляется запись:
I
10 руб.
II
Затем составляется план решения.
6.Закрепление умения решать задачи.
1) решение задач 1-го вида с различными группами величин;
2) решение задач 2-го вида
3) упражнения на преобразования задач (например, по задаче на нахождение четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по двум разностям и сравнить их решение.)