Золотая пропорция - модель миростроения.

Исследовательская работа на тему « Божественная гармония » Симпозиум «Фундаментальная математика и механика»

Автор:

Рабазанова Мадина Салиховна,

Ученица 11 А класса,

МКОУ «СОШ №3» г.Избербаш .

Научный руководитель:

Аскадинова Заира Магомедсаидовна

Учитель математики,

МКОУ «СОШ №3» г.Избербаш .

Оглавление

• Аннотация. Введение. Основная часть. Глава 1. Пропорции золотого сечения. 1.1. Золотое сечение и «золотые» фигуры. 1.2.Обобщенные золотые сечения. Глава 2 . Результаты собственных исследований для наблюдения фундаментальной формы мироздания – «золотой пропорции». 2.1. Золотое сечение в физической картине мира. 2.2. Золотое сечение в живой природе. 2.3. Золотая пропорция в пропорциях человеческого тела. 2.4. Золотая пропорция в искусстве, в архитектуре, в скульптуре. Глава 3. Результаты практической работы «Золотое сечение в компьютерных технологиях». Золотое сечение в кинематографии. Золотое сечение в интерфейсе пользователя. Atrise – графическая среда «золотых» фигур. Заключение. Литература. Приложение.
• Аннотация.
• Введение.
• Основная часть.
• Глава 1. Пропорции золотого сечения.
• 1.1. Золотое сечение и «золотые» фигуры.
• 1.2.Обобщенные золотые сечения.
• Глава 2 . Результаты собственных исследований для наблюдения фундаментальной формы мироздания – «золотой пропорции».
• 2.1. Золотое сечение в физической картине мира.
• 2.2. Золотое сечение в живой природе.
• 2.3. Золотая пропорция в пропорциях человеческого тела.
• 2.4. Золотая пропорция в искусстве, в архитектуре, в скульптуре.
• Глава 3. Результаты практической работы «Золотое сечение в компьютерных технологиях».
• Золотое сечение в кинематографии.
• Золотое сечение в интерфейсе пользователя.
• Atrise – графическая среда «золотых» фигур.
• Заключение.
• Литература.
• Приложение.

Аннотация

Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе. История «Золотого сечения» - это история человеческого познания мира. Понятие «Золотое сечение» прошло в своем развитии все стадии познания. От простого созерцания действительности человек перешел к выражению его в мире чисел. Ученые открывают «Золотые пропорции» в живой и не живой материи и уже на основании этого опыта происходят удивительные открытия нашими современниками Стаховым А. П. и Витенько И. В. обобщенных рядов Фиббоначи. Их анализ приводит исследователей к результатам ошеломляющим по своей простоте. «Золотое сечение» обладает избыточностью и устойчивостью, которые позволяют организовываться самоорганизующимся системам.

Цель : исследовать фундаментализм золотого сечения.

Методы и приемы достижения поставленной цели проходили в два этапа:

• подбор литературы и изучение её по теме работы,
• исследование свойств «золотых фигур»,
• наблюдение золотых фигур в физической картине мира и в живой природе;
• изучение материалов виртуального музея «Музей Гармонии»;
• изучение различных программ по компьютерной графике.
• анализ результатов и выводы по ним.

• Полученные данные:

• методы построения «золотых» фигур;
• статистические данные пропорций комнатных растений;
• статистические данные пропорций телосложения человека;
• программа Atrise.

• Выводы:

• золотая пропорция – фундаментализм мироздания;
• пропорции строения живых организмов подчинены числам Фибоначчи;
• золотую пропорцию человек выражает во всех сферах своей жизнедеятельности;
• в основу создания графического интерфейса заложена золотая пропорция.

Формулировка проблемы Актуальность проблемы

• Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес, к форме какого-либо предмета бывает вызван красотой формы. Форма , в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, музыканты, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и в настоящее время помнят и используют это сечение.

• Иоганну Кеплеру, жившему пять веков назад, сказал, что второе великое сокровище геометрии – это деления отрезка в крайнем и среднем отношении". Моя работа о том, что такое золотое сечение и где оно встречается, а так же где его применяет сегодня человек.

Объект исследования: «золотые» фигуры, числа Фибоначчи, живые организмы, человеческий организм, компьютерная графическая среда Atrise. Предмет исследования: отображение «Золотого сечения» в живой природе, физической картине мира, анатомии и медицине, геометрии, живописи, архитектуре, скульптуре, кино, компьютерной графике . Цель работы: выяснить, что такое золотое сечение, где оно встречается, где его можно применять; выявить фундаментальность понятия «золотая пропорция». Методы исследования: 1) сравнительный анализ геометрических измерений и вычисление равенства отношений с золотой пропорцией; 2) анализ, синтез, сопоставление. Обзор источников. На сайте http://www.goldenmuseum.com представлены статьи и доклады профессора Алексей Петрович Стахова, где собраны материалы о «золотых» фигурах и золотой пропорции в целом. Сайт http://www.usability.ru/ помог мне разобраться в том, что в основу программирования интерфейса любой вычислительной машины заложены пропорции золотого сечения. Степень изученности вопроса мною не считаю окончательной. Дальнейшая моя деятельность будет направлена на изучении основ компьютерной графики, фотографировании и пополнения банка данных виртуального музея «Гармонии».

Основная часть

Золотое сечение и «золотые» фигуры.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Разделим отрезок прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Из точки В восстановим перпендикуляр ВС, равный половине АВ. На линии АС откладываем отрезок ДС, равный ВС. На прямой АВ откладываем отрезок АЕ, равный АД. Точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью АЕ=0,618…, если АВ принять за единицу, ВЕ=0,382…

Золотой треугольник . От точки А откладываем на прямой АВ три раза отрезок произвольной величины, равной О. через конец Р последнего отрезка проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки длиной О. Полученные точки D и D 1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок DD 1 откладываем на линию AD 1 , получая точку С. Она разделила линию AD 1 в пропорции золотого сечения. Линиями AD 1 и DD 1 используются для построения «золотого» прямоугольника.

• Золотой прямоугольник. Древние греки считали, что прямоугольники, у которых стороны относятся как 5:8 имеют наиболее приятную форму, названные денамические прямоугольники.

Спираль Архимеда – золотая спираль. Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

Золотой пятиугольник , называемый пентограммой - замечательный пример «золотого сечения». Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА, OD - перпендикуляр к радиусу ОА. Отложим на диаметре отрезок CE, равный ED. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем вершины пентаграммы. Точки пересечения делят диагонали на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. [1.1.5] В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды.[1.1.7] Каждый конец пентограммы представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Обобщенные золотые сечения.

• Числа Фибоначчи. С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи ( сын Боначчи). Числа, образующие последовательность 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.233.377,610,98,1597,2584… называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Более того, после 13-го числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое среднее или золотая пропорция.

S-числа Фибоначчи . Зададим числовой параметр S, который может принимать любые значения: 0,1,2,3,4,5,6,… Рассмотрим числовой ряд S+1 первых членов которые равны единице, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Для n-го члена этого ряда имеем соотношение: . Очевидно, что при S=1 соотношение описывает ряд Фибоначчи. При других значениях S получаем новые ряды чисел, имеющие название S-числа Фибоначчи.

• Уравнения золотого сечения . Разделим отрезок АВ в отношении золотой пропорции. Обозначим: х - длина большей части отрезка, 1-х - длина его меньшей части. Условие нашей задачи дает нам пропорцию .

• Откуда или . Положительным корнем этого уравнения является . Описываемое уравнение называют уравнением золотого сечения.
• В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения . Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 -знакомое классическое золотое сечение.

Глава 2. Результаты собственных исследований для наблюдения фундаментальной формы мироздания – «золотой пропорции».

Задача 1 .

Золотое сечение в физической картине мира.

Дана однородная пластина в форме равнобедренной трапеции с основаниями и

. Требуется определить условие, когда центр тяжести трапеции совпадает с золотым сечением.

и высотой

Решение : Высота

.

расположена симметрично относительно оси

Ординату центра тяжести произвольной равнобедренной трапеции определяют:

Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции .

Пусть основания трапеции относятся в золотой пропорции:

Тогда координата центра тяжести равна:

2.2. Золотое сечение в живой природе.

Золотая пропорция – это математический символ взаимодействия двух физических сил – тяготения и инерции, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт роста сменяется замедлением «по инерции».

Задача 2.

Проверить утверждение, что рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения.

Решение:

Растение

ромашка

Целое а

лист

Большая часть b

1см

фикус

5мм

6мм

Меньшая часть с

4мм

Отношение а/b

3мм

7,5см

1,6666….

2мм

Отношение b /с

4,5см

1,6666….

1,5

3см

1,5

1,6666….

1,5

2.3. Золотая пропорция в пропорциях человеческого тела.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными: M/m=1,618.

Задача 3.

Проверить пропорциональность телосложения мальчика 13 лет.

Решение:

Гипотеза

1

2

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Доказательство

Расстояние от кончиков пальцев до локтя и от локтя до плеча равно 1:1.618.

Рост а=154см, длина ног в=95см, торс с=60 см a/b=1.62 и b/c=1.58

3

Длина руки а=67см , длина от кончиков пальцев до локтя в=40см , от локтя до плечевого сустава с=27 .

Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

a/b=1.675, b/c=1.481

Размер лица а=25см, до линии бровей в=16см, лоб до макушки с=9 см. a/b=1.56, b/c=1.454

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618. Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73º 43’.

Глава 3. Результаты практической работы «Золотое сечение в компьютерных технологиях».

Ярким примером использования золотой пропорции ныне является фильм С.Эйзенштейна "Броненосец Потемкин". Он разбил ленту на пять частей. В первых трех действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Одним из факторов юзабилити (англ. usability - «возможность использования», «полезность») является удобство восприятия пользователем элементов интерфейса при использовании программы. И воспринимаются они хорошо в том случае, если их пропорции соответствуют пропорциям так называемого «золотого сечения» Atrise золотого сечения - это программа, которая позволяет избежать рутинных операций, калькулятор сборники, планирование группировки и форм. Главное окно программы представляет собой регулируемую прозрачную сетку из горизонтальных и вертикальных линий, которая всегда остается поверх других окон. Таким образом, Вы можете полностью контролировать и управлять любым приложением под ней: перемещать объекты, выберите их и нажмите кнопку или выполнить любые другие действия, в то же время видеть Золотое сечение сетки линий непосредственно над элементами дизайна.

Задача 4 . С помощью программы Atrise составить композицию «клубника на подносе. Решение : С помощью навигатора яндекс-картины я нашла красивое фото подноса и клубники. Скачать и установить программу Atrise можно по адресу: http :// www . atrise . com / golden - section / download / . Запускаем программу Atrise. В программе Microsoft Office PowerPoint 2007 мы можем расположить клубничку на подносе в вершинах золотых фигур или по золотой спирали.

Заключение Большая часть целого так относится к целому, как его меньшая часть относится к большей части - это всеобщий, абстрактный закон (принцип) «божественной гармонии» мироустройства и количественных отношений бытия между целым и его частями. Данный закон получил имя «золотая пропорция». Целостность иерархического мироустройства особо четко проявляется в числовом ряде Фибоначчи. С понятием «золотое сечение» связывают гармонию Природы. При этом с гармонией, как правило, связывают принципы симметрии в живой и неживой Природе.

Выводы: Золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов живой природы; взаимодействие двух физических сил – тяготении и инерции выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт роста сменяется замедлением «по инерции». При описании физической картины мира «золотое сечение» отражает относительность и взаимность любых противоположностей , то есть классических и неклассических событий, в частности, относительность и взаимность протяжённости и не протяжённости, линейного и нелинейного движения в природе. ( Рассмотрена задача 1 )

Установлено, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. Интересно заметить, что лучше удовлетворяет этой пропорции мужская фигура: 8/13, чем женская: 5/8. (Поставлены и решены две задачи: задача 2 и задача 3) Человек – венец творения природы. Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция. Одной из главных задач эффективного дизайна в Web – это ясность и интуитивность. А также концентрация внимания пользователя на нужных местах страницы. Поэтому в основе программирования графической составляющей интерфейса является золотая пропорция. ( Рассмотрена и решена задача 4 )

Литература

• www.goldenmuseum.com
• http://chernov-trezin.narod.ru/ZS.htm Чернов. А «Заметки о вечном»
• http://www.usability.ru/
• http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
• http://www.softshape.com/download/
• http://www.atrise.com/golden-section/download/
• Сергиенко П.Я. Проблема начал познания мер гармонии триединого бытия. Беседа3. // «Академия Тринитаризма», М., Эл №77-6567, публ. 11991, 22.04.2005.
• Соколов А. Тайны «золотого» сечения // Техника молодежи. – М.: 1978. № 5. – С. 40-43.
• Стахов А.П. Новая математика для живой природы.– Винница: ТОВ «IТГ», 2003. – 264с.
• Ясинский С.А. «Золотое сечение» в экономике // Книга: «Этика. Эстетика. Экономика». – СПБ.: СПб. ТПП, 2002. – С. 355-388.
• Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. Учебное пособие.- К., 1986

Спасибо за внимание.