Золотое сечение

Это выверенное соотношение чисел,

благодаря которому можно строить,

рисовать, делать скульптуры,

обогащая свои произведения скрытой

силой.

Многие из работ Леонардо

Да Винчи написаны по

пропорции золотого сечения.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его. Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции. В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

Иоганн Кеплер говорил: «Геометрия

обладает двумя великими сокровищами.

Первое – это теорема Пифагора, второе –

деления отрезка в крайнем и среднем

отношении.»

Флаг Республики Корея

Пятиконечная звезда – пентаграмма – всегда привлекала

внимание людей совершенством формы. И в наши дни

пятиконечная звезда красуется на гербах и флагах многих

стран. В чём же её привлекательность?

Дело в том, что в этой фигуре наблюдается удивительное

постоянство отношений составляющих её отрезков.

Взгляните на рисунок:

Трудно поверить, но AD :AC = AC:CD=

=AB : BC=AD : AE=AE : EC. Пользуясь

симметрией звезды, этот ряд равенств

можно ещё долго продолжать.

Рассмотрим подробнее первое

равенство. Точка С делит отрезок

AD на две неравные части, и большая

часть так относится к меньшей, как

весь отрезок – к большей части. А

чему равно это отношение? Чтобы

найти его, примем длину отрезка AD за

a , отрезка AC за b . Так как CD = a-b , то

a : b=b : (a-b ) или a²=ab+b² . Разделив обе

части на b² и обозначить искомое отношение

a/b буквой Ф, получим уравнение Ф =Ф ² +1,

Имеющее единственный положительный

Корень Ф = (√5+1) / 2

Таким образом,

_1+ √5_

2

= 1,618033988 .

Многие скульпторы использовали в своих

работах золотую пропорцию.

Золотое сечение в архитектуре

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.)

.

На основе золотого сечения были возведены пирамида Хеопса,

храм Соломона, Пантеон и большинство романских церквей. Во

многих картинах эпохи возрождения соблюдена эта пропорция.

Утверждают, что всё, построенное без учёта золотого сечения,

обрушивается. Таков тысячелетниё секрет. И он является не

просто плодом человеческого воображения. Он соблюдается и

природой. Золотому сечению подчиняется расстояния между

листьями на деревьях, благодаря этому они не заслоняют друг

друга от солнца. Местоположение пупа относительно других

членов человеческого тела вычислено природой на основе

золотого сечения.

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи.

Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих

2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф . Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Месяцы

Пары кроликов

0

1

0

1

2

1

3

2

4

3

5

6

5

8

7

13

8

9

21

10

34

11

55

89

12

и т.д.

144

и т.д.

Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах:

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

«Красивейшие человеческие тела

во всех положениях, смелых до

невероятности, стройных до

музыки - да это целый мир, перед

откровением которого невольный

холод восторга, страстного

благоговения пробегает по всем жилам»(И.С. Тургенев).

Человек - также пентаграмма. Раскинув руки в стороны и расставив

ноги, он вписывается в звезду.

Человеческое тело сплошь нашпиговано божественной пропорцией.

Может быть, поэтому у всех народов и во все времена оно и вызывает

восхищение, поклонение…

Высота лица(до корней волос) относится к вертикальному расстоянию

между дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояние

между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к

расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка. Это

отношение равно золотой пропорции. Пальцы человека состоят из трёх

фаланг – основных, средних и ногтевых. Длина основных фаланг всех

пальцев, кроме большого, равна сумме длин двух остальных фаланг, а

длины всех фаланг каждого пальца соотносятся друг к другу по правилу

золотой пропорции.

• Доказать, что пропорция золотого сечения присутствует

в теле человека.

2.Просмотреть как изменяется пропорция с возрастом.

Мы измерили людей разных возрастов, женского пола, с целью выявить

пропорцию золотого сечения и её изменения с возрастом в теле

человека. Измерялись люди следующих возрастов:

• От пяти до семи лет.
• От двенадцати до тринадцати лет.
• От пятнадцати до шестнадцати лет.
• От тридцати до сорока лет.

Было измерено по двадцать человек каждого возраста. Измерялось

отношение расстояния от талии до плеч, к расстоянию от плеч до

макушки головы. Далее находилось среднее арифметическое всех

отношений каждого из возрастов.

Ниже, перечислены имена измеряемых девочек, с полученными

результатами.

Мария-1.26

Ксения-1.33

Алиса-1.33

Эльза-1.34

Рамиля-1.28

Камиля-1.29

Ариша-1.31

Алина-1.25

Алёна-1.34

Маргарита-1.27

Диляра-1.32

Настя-1.27

Марина-1.31

Татьяна-1.26

Соня-1.23

Кристина-1.29

Евгения-1.24

Александра-1.33

Алсу-1.32

Елена-1.35

Теперь найдём среднее арифметическое этих отношений:

(1.26+1.33+1.33+1.34+1.28+1.29+1.31+1.25+1.24+1.27+1.32+1.27+1.31++1.26+1.23+1.29+1.24+1.33+1.32+1.35):20=1.27

Ниже, перечислены имена измеряемых девочек, с полученными

результатами.

• Света-1,42
• Динара-1.38
• Даша-1.54
• Марина-1.46
• Настя-1.53
• Катя-1.56
• Гузель-1.53
• Ксения-1.59
• Анна-1.54
• Алина-1.45

11.Алёна-1.45

12.Наташа-1.57

13.Катя-1.52

14.Женя-1.47

15.Жанна-1.52

16Лена-1.38

17.Рита-1.39

18.Мария-1.45

19.Юлия-1.43

20.Даша-1.55

Теперь найдём среднее арифметическое этих отношений :

(1.42+1.38+1.54+1.46+1.53+1.56 +1.53+1.54+1 . 59 +1.45+1.45+1.57++1.52+1.47+1.52+1.38+1.39+1.45+1.43+1.55):20=1.42

Ниже, перечислены имена измеряемых девушек, с полученными

результатами.

Дарья-1.53

Мария-1.56

Кристина-1.54

Олеся-1.52

Евгения-1.56

Екатерина-1.55

Александра-1.52

Карина-1.58

Анастасия-1.56

Дарья-1.54

Лидия-1.60

Варвара-1.65

Гузель-1.52

Рамиля-1.54

Елена-1.58

Ольга-1.57

Динара-1.54

Аревика1.53

Маргарита-1.59

Соня-1.53

Теперь найдём среднее арифметическое этих отношений:

(1.53+1.56+1.54+1.52+1.56+1.55+1.52+1.58+1.56+1.54+1.60+

+1.65+1.52++1.54+1.58+1.57+1.54+1.53+1.59+1.55+ 1 . 5 9 + 1 . 53):

:20=1.56

Ольга-1.57

Мария-1.58

Дарья-1.61

Марина-1.56

Мирослава-1.57

Валентина-1.59

Елена-1.55

Татьяна-1.62

Анастасия-1.56

Екатерина-1.57

Лилия-1.59

Эльмира-1.63

Кристина1.54

Вера1.59

Виктонрия-1.57

Луиза-1.58

Галина-1.54

Ольга-1.59

Екатерина-1.57

Татьяна-1.59

Теперь найдём среднее арифметическое этих отношений:

(1.57+1.58+1.61+1.56+1.57+1.59+1.55+1.62+1.56+1.57+1.59+1.63+

+1.54+1.59+1.57+1.58+1.54+1.59+1.57+1.59):20=1.58

По полученным результатам составим столбчатую диаграмму:

Изменение пропорции человеческого тела с возрастом у женщин:

1.60

1.58

1.58

1.56

1.56

1.54

1.52

1.50

1.48

1.46

1.44

1.42

1.42

1.40

1.38

1.36

1.34

1.32

1.30

1.28

1.27

1.26

1.24

1.22

1.20

5-7 лет

12-13 лет

15-16 лет

30-40 лет

По результатам исследования видно ,что в возрасте 5-7 лет несформировавшиеся дети далеки от золотой пропорции. В подростковом периоде от 12 до 13 лет тело человека приближается к идеалу, но всё же далеко от золотого сечения.

В юношеском возрасте (от 15 до 16 лет) люди почти сформированы, и приближены к идеалу. В 30-40 лет тело взрослой женщины почти соответствует божественной пропорции. Также, мы заметили, что в периоде с 12 до 16 лет в теле человека происходит скачок развития, после которого почти сформированный человек уже не растёт.

1.Доказать, что пропорция золотого сечения присутствует в теле человека.

2.Просмотреть как изменяется пропорция с возрастом.

3.Сравнить результаты двух исследований, и выявить чья фигура, женская или мужская, более приближена к золотому сечению.

Мы измерили людей разных возрастов, мужского пола, с целью выявить

пропорцию золотого сечения и её изменения с возрастом в теле

человека. Также мы решили сравнить результаты двух исследований,

чтобы узнать какая фигура женская или мужская более приближена к

золотому сечению. Измерялись люди следующих возрастов:

• От пяти до семи лет.
• От двенадцати до тринадцати лет.
• От пятнадцати до шестнадцати лет.
• От тридцати до сорока лет.

Было измерено по двадцать человек каждого возраста. Измерялось отношение расстояния от талии до плеч, к расстоянию от плеч до макушки головы. Далее находилось среднее арифметическое всех

отношений каждого из возрастов.

Ниже перечислены имена измеряемых мальчиков с

полученными результатами.

Олег-1.28

Артём-1.25

Гриша-1.31

Матвей-1.23

Дамир-1.26

Динар-1.31

Михаил-1.25

Алексей-1.24

Илья-1.25

Владимир-1.26

Антон-1.32

Данил-1.24

Максим-1.27

Алексей-1.25

Дмитрий-1.28

Слава-1.24

Андрей-1.25

Ринат-1.25

Руслан-1.28

Радик-1.27

Теперь найдём среднее арифметическое этих отношений:

(1.28+1.25+1.31+1.23+1.26+1.31+1.25+1.24+1.25+1.26+1.32++1.24+1.27+1.25+1.28+1.24+1.25+1.25+1.28+1.27):20=1.26

Ниже перечислены имена измеряемых мальчиков с

полученными результатами.

Илья-1.38

Максим-1.61

Рамиль-1.54

Малик-1.57

Даниил-1.34

Марат-1.45

Алексей-1.47

Раиль-1.43

Алексей-1.32

Павел-1.56

Алексей-1.53

Тимур-1.45

Илья-1.36

Александр-1.71 Гриша-1.54

Рамазан-1.33

Максим-1.54

Павел-1.48

Артём-1.57

Владислав-1.32

Теперь найдём среднее арифметическое этих отношений:

(1.38+1.61+1.54+1.57+1.34+1.45+1.47+1.43+1.32+1.56+

+1.53+1.45+1.36+1.71+1.54+1.33+1.54+1.48+1.57+1.32): :20=1.47

Ниже перечислены имена измеряемых юношей с

полученными результатами.

Марат-1.52

Кирилл-1.43

Влад-1.45

Алексей-1.46

Максим-1.52

Рамиль-1.43

Павел-1.52

Антон-1.48

Илья-1.43

Василий-1.57

Андрей-1.53

Олег-1.55

Данил-1.47

Дмитрий-1.49

Алексей-1.56

Илья-1.48

Дамир-1.54

Вадим-1.52

Тимур-1.53

Артём-1.45

Теперь найдём среднее арифметическое этих отношений:

(1.53+1.55+1.57+1.49+1.56+1.48+1.54+1.52+1.53+

+1.45+1.52+1.43+1.45+1.46+1.42+1.43+1.52+1.48++1.43+1.57):20=1.49

Ниже перечислены имена измеряемых мужчин с

полученными результатами.

Сергей-1.58

Иван-1.54

Олег-1.57

Дмитрий-1.53

Андрей-1.52

Владислав-1.54

Валерий-1.56

Геннадий-1.49

Виталий-1.51

Сергей-1.53

Юрий-1.54

Даниил-1.57

Рашид-1.54

Виктор-1.49

Максим-1.56

Григорий-1.54

Антон-1.56

Василий-1.49

Марат-1.48

Илья-1.57

Теперь найдём среднее арифметическое этих отношений:

(1.56+1.54+1.52+1.53+1.52+1.54+1.56+1.49+1.51+1.53+1.54+1.53+

+1.54+1.49+1.56 +1.54+1.56+1.49+1.48+1.57):20=1.54

По полученным результатам составим столбчатую диаграмму:

Изменение пропорции в теле человека с возрастом у мужчин:

1.60

1.58

1.56

1.54

1.54

1.52

1.50

1.49

1.49

1.48

1.47

1.46

1.44

1.42

1.40

1.38

1.36

1.34

1.32

1.30

1.28

1.26

1.26

1.24

1.22

5-7 лет

15-16 лет

1.20

12-13 лет

30-40 лет

По результатам исследования видно, что у мальчиков

основное развитие происходит до 12-13 лет ,после чего

они почти не растут.

Теперь, сравним результаты двух исследований:

1.60

1.58

1.58

1.56

девочки

1.56

1.54

1.54

1.52

1.50

1.49

1.48

1.47

мальчики

1.46

1.44

1.42

1.42

1.40

1.38

1.36

1.34

1.32

1.30

1.28

1.27

1.26

1.26

1.24

1.22

1.20

15-16 лет

12-13 лет

5-7 лет

30-40 лет

По результатам диаграммы видно , что женская фигура более соответствует золотой пропорции, чем мужская. В возрасте 5-7 лет результаты измерений почти равны, но фигура девочки, всё же более близка золотому сечению. В промежутке от 7 до 12 лет мальчики развиваются быстрее, чем девочки, поэтому в возрасте 12-13 лет они более близки к золотому сечению, после чего они почти не развиваются. Девочки же растут постепенно. В возрасте 15-16 лет фигура юной девушки почти сформирована, после чего в возрасте 30-40 лет почти не изменяется.

• Выяснить, как внешний вид и красота окружающих

нас предметов зависит от золотого сечения.

Мы измеряли предметы используемые нами в повседневной жизни. Мы измерили отношение высоты предмета к ширине. Всего было измерено 10 предметов.

9 Монитор высота 36,6см, ширина 30,6см.

Отношение высоты к ширине равно 1,2

10 Плакат игры Кенгуру длина 24см , ширина 19,6см .

Отношение длины к ширине равно 1,22.

Вывод:

По результатами измерений, видно что предметы не приятные для глаз, не соответствуют золотой пропорции, поэтому отношение их длины к их ширине не равно 1,61.